#Youngの不等式
積に関してのYoungの不等式より以下が成り立つ. $a, b \geq 0$, $p, q \geq 1$, $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$とすると,
$$ ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} $$
証明は, $x = \frac{a^{p-1}}{b}$とすると $\frac{\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}}{ab} = \frac{x}{p} + \frac{1}{q}x^{1 - q}$であるのでこれが $x \in (0, \infty)$で1以上であることを言えればよく, これは微分すればわかる.

#Hölderの不等式

$L^p$ノルム
$1 \leq p < \infty$に対して, $f \in L^p(\Omega)$のノルムを
$$\|f\|_{L^p(\Omega)} := \left( \int _\Omega |f(x)|^p dx \right)^\frac{1}{p}$$
とする. また $p = \infty$のとき,
$$ \|f\| _{L^{\infty}(\Omega)} := \inf\{C > 0 \mid |f(x)| \leq C ; (a.e. x \in \Omega)\}$$
と定める.
Hölderの不等式
Hölderの不等式より以下が成り立つ. $1 \leq p, q \leq \infty$, $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$とすると $f \in L^p(\Omega)$, $g \in L^q(\Omega)$に対して,
$$\int_{\Omega} |f(x)g(x)| dx \leq \|f\|_{L^p(\Omega)} \|g\| _{L^q(\Omega)}$$
となる.
証明
$f, g$をそれぞれ$\|f\| _ p, \|g\| _ q$で割ることで$\|f\| _ p = \|g\| _ q = 1$である場合に帰着できる.
Youngの不等式で$a = |f(x)|, b = |g(x)|$とすると,
$$|fg(x)| \leq \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g(x)|^q}{q}$$
が成り立つ. $x$に関して両辺積分すると,
$$\int_{\Omega} |f(x)g(x)| dx \leq \frac{\|f(x)\|^p_p}{p} + \frac{\|g(x)\|^q_q}{q} = 1 = \|f\|_{L^p(\Omega)} \|g\| _{L^q(\Omega)}$$
となり, 求める式が得られた.

#一般化
Hölderの不等式は一般化でき, 以下が成り立つ. $1 \leq p_i \leq \infty (i = 1, 2, \dots, n)$で$\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + \dots + \frac{1}{p_n} = 1$に対して,
$$\int_{\Omega} \left|\prod_{i = 1}^n f_i(x)\right| dx \leq \prod_{i = 1}^n \|f_i\|_{L^{p_i}(\Omega)}$$
が成り立つ.