#Minkowskiの不等式

主張

$1 \leq p \leq \infty$とする. このとき $f, g \in L^p$に対して以下が成り立つ.
$$\|f + g\|_{L^p} \leq \|f\| _{L^p} + \|g\| _{L^p}$$

これは $L^p$ノルムへの三角不等式の一般化といえる.

証明

まず $f, g \in L^p$であるとき $f + g \in L^p$であることを示す必要があるが, これは $|f + g|^p \leq (|f| + |g|)^p \leq 2^{p - 1}(|f|^p + |g|^p)$より従う.

p = 1のとき

三角不等式より
$$\int_\Omega |f(x) + g(x)| dx \leq \int_\Omega |f(x)| dx + \int_\Omega |g(x)| dx$$
p = $\infty$のとき

$L^\infty$ノルムの定義より明らか.
$1 < p < \infty$のとき

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$となる $q$をとると$(p - 1)q = p$より,

\begin{align*}
\int_\Omega |f(x) + g(x)|^p dx &= \int_\Omega |f(x) + g(x)|^{p - 1}|f(x) + g(x)| dx \\
&\leq \int_\Omega |f(x) + g(x)|^{p - 1}|f(x)| dx + \int_\Omega |f(x) + g(x)|^{p - 1}|g(x)| dx \\
&\leq \left( \int_\Omega |f(x) + g(x)|^{(p - 1)q} dx \right)^{\frac{1}{q}}\left( \int_\Omega |f(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} + \left( \int_\Omega |f(x) + g(x)|^{(p - 1)q} dx \right)^{\frac{1}{q}}\left( \int_\Omega |g(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}}\hspace{15pt} (\because \text{Hölderの不等式}) \\
&\leq \left( \int_\Omega |f(x) + g(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{q}}\left( \|f\|_{L^p} + \|g\|_{L^p} \right)
\end{align*}

となり, 両辺を $( \int_\Omega |f(x) + g(x)|^p dx)^{\frac{1}{q}}$で割ることで示すべき不等式,
$$\|f + g\| _{L^p} = \left( \int _\Omega |f(x) + g(x)|^p dx \right)^{1 - \frac{1}{q}} \leq \|f\| _{L^p} + \|g\| _{L^p}$$
が得られる.

#一般化
Minkowskiの不等式は一般化でき, 以下が成り立つ. $(\Omega_1, \mu _1), (\Omega_2, \mu _2)$を測度空間として$1 \leq p \leq \infty$と $\Omega _1 \times \Omega _2$上の可測関数$f(x, y)$に対して,
$$\left( \int _{\Omega _2} \left\{ \int _{\Omega _1} |f(x, y)| d\mu _1 \right\}^p d\mu _2 \right)^\frac{1}{p} \leq \left( \int _{\Omega _1} \left\{ \int _{\Omega _2} |f(x, y)|^p d\mu _2 \right\}^\frac{1}{p} d\mu _1 \right)$$
となる.