まずは結果

うおおおおおおおお
うおおおおおおおお
うおおおおおおおお
うおおおおおおおお
うおおおおおおおおうおおおおおおおお
うおおおおおおおお
うおおおおおおおおうおおおおおおおおうおおおおおおおお
うおおおおおおおお
うおおおおおおおお
うおおおおおおおお

コード

今気づいたけどマークダウンの候補にvuejsってある。。
便利すぎない？

業務で書いたコードからいらないやつ消した感じなので、このまま動かなかったらごめんなさい。
編集リクエスト送っていただければーーー

MyTextarea.vue

<template>
  <textarea
    class="textarea bg-white"
    :style="textareaStyle"
    :placeholder="placeholder"
    :value="value"
    @input="handleInput($event)"
  />
</template>

<script lang="ts">
import Vue from "vue"

export default Vue.extend({
  props: {
    placeholder: { type: String, default: "" },
    value: { type: String, default: '' }
  },
  data() {
    return {
      textareaHeight: 100 // デフォルト値いれとく。minHeightといっしょでよい。borderあるのでちょっとずれる
    }
  },
  computed: {
    textareaStyle(): object { // 動的にtextareaのheightをいじれるようにしている
      return {
        height: `${this.textareaHeight}px`
      }
    }
  },
  methods: {
    async handleInput(event: any) { // 入力されるたびによばれる。anyなのはゆるして。。。
      this.$emit('input', event.target.value) // これは親に伝えるためだけ。

      this.textareaHeight = 0 // ミソ。一旦textareaのheightを0にしちゃう

      await this.$nextTick() // さらにミソ。ここで待たないとDOMの更新前に下のコードが走って変な挙動になる

      // heightが0になった瞬間textareaはminHeight: 100になる
      // 入力済み文字列の高さが100を超えたら、scrollHeightが必要な分だけ大きくなる = それをheightにしちゃえばOK！
      this.textareaHeight = event.target.scrollHeight
    }
  }
})
</script>

<style lang="stylus" scoped>
.textarea-container {
  width: 100%;
}

.textarea {
  width: 100%;
  min-height: 100px; // ここはお好み。変えるならdata()の値も変えるとよいよ
  border: 1px solid #D9D9D9
  border-radius: 4px;
  padding: 5px 12px;

  &::placeholder {
    color: #D9D9D9
  }
}
</style>

TL;DR

this.$nextTickがミソなんじゃぞ。