Herokuでアプリを公開したらWe're sorry, but something went wrong.というメッセージが出てアプリが開けなくなったので対処法を書きます。

試した方法1

We're sorry, but something went wrong.で検索すると

$ heroku run rails db:migrate

を実行すれば解決すると出てきたので試したが解決できなかった。

試した方法2

$ heroku logs -t

上記のherokuコマンドでログを確認したところ以下のエラーが出力されていました。

ActionView::Template::Error (The asset "<画像名>.png" is not present in the asset pipeline.)

このエラーを調べたところ、本番環境でアセットパイプラインが正しく設定されていないため、app/assets/images/以下にある画像が正しく読み込まれていないことが原因でした。
そこで、以下を実行して本番環境上でアセットパイプラインが自動で通るように設定を変更しました。

$ rails assets:precompile

config/environments/production.rb

config.assets.compile = true   #falseをtrueに変更

もう一度デプロイし、$ heroku run rails db:migrateを実行すると問題なくアプリを開くことができました。