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@Hijiki3

Unityで“外積”を使い倒す

Last updated at Posted at 2025-09-08

超要約

  • 外積（Cross）は2本に直交するベクトルを返す。大きさは |a||b|sinθ、平行なら 0。
  • Unity は左手系。Vector3.Cross(a,b) の向きと、Vector3.SignedAngle(from,to,axis) の符号は引数順・軸向きに依存。
  • 使いどころ：左右判定 / 法線 / 面積 / 回転軸 / トルク / スライド方向など“向きの符号”が要る場面。

使いどころ

1) 右/左判定（XZ平面）

  • 何が決まる？ 自機 forward に対してターゲットが右か左かの符号。
  • どんなシーン？ 旋回方向の決定、UI矢印、回避方向。
public static bool IsRightOnXZ(Vector3 selfPos, Vector3 selfForward, Vector3 targetPos)
{
    Vector3 f = selfForward; Vector3 t = (targetPos - selfPos);
    f.y = 0f; t.y = 0f;
    if (f.sqrMagnitude < 1e-8f || t.sqrMagnitude < 1e-8f) return false;
    // 符号判定に正規化は不要（計算量削減）
    return Vector3.Cross(f, t).y > 0f; // +Y なら右（左手系）
}

XZへ投影し Cross(f, t).y の符号で左右判定。Cross の引数順に依存。零/極小ベクトルは事前ガード。

Unityの便利メソッドで書くなら（Vector3.SignedAngle）

public static bool IsRightOnXZ_SignedAngle(Vector3 selfPos, Vector3 selfForward, Vector3 targetPos)
{
    Vector3 f = selfForward; f.y = 0f;
    Vector3 t = (targetPos - selfPos); t.y = 0f;
    if (f.sqrMagnitude < 1e-8f || t.sqrMagnitude < 1e-8f) return false;
    return Vector3.SignedAngle(f, t, Vector3.up) < 0f; // 右=負（XZ, axis=+Y, from=f→to=t）
}

SignedAngle の符号は from/to と axis の向きに依存。この記事は XZ＋axis=+Y 前提で「右が負」。

2) 三角形の法線ベクトル（面の向き）

  • 何が決まる？ 面の向き（法線）と頂点順序に応じた表裏。
  • どんなシーン？ ライティング、裏表判定、当たり判定の面向き。
public static Vector3 FaceNormal(Vector3 a, Vector3 b, Vector3 c, bool normalize = true)
{
    Vector3 n = Vector3.Cross(b - a, c - a);
    return normalize ? n.normalized : n;
}

n = Cross(b-a, c-a)。大きさは平行四辺形の面積、正規化で単位法線。

Unityの便利メソッドで書くなら

public static Vector3 FaceNormalWithPlane(Vector3 a, Vector3 b, Vector3 c)
{
    Plane pl = new Plane(a, b, c); // a→b→c の並び依存
    return pl.normal;
}

頂点順序（巻き方向）で法線向きが決まる。上から見て時計回り/反時計回りの違いに注意。

3) 三角形の面積

  • 何が決まる？ 三角形の面積（スカラー）。
  • どんなシーン？ デカール密度、LOD/UV密度の見積、ナビメッシュの簡易評価。
public static float TriangleArea(Vector3 a, Vector3 b, Vector3 c)
{
    return 0.5f * Vector3.Cross(b - a, c - a).magnitude;
}

外積ノルムは平行四辺形の面積。三角形は半分。

Unityの便利メソッドで書くなら（角度利用）

public static float TriangleAreaWithAngle(Vector3 a, Vector3 b, Vector3 c)
{
    Vector3 u = b - a;
    Vector3 v = c - a;
    float ang = Vector3.Angle(u, v) * Mathf.Deg2Rad;
    return 0.5f * u.magnitude * v.magnitude * Mathf.Sin(ang);
}

|u||v|sinθ は外積ノルムと同値。実装は外積の方が簡潔。

4) 点が三角形内にあるか（エッジ関数 / XZ）

  • 何が決まる？ 点の内外判定（bool）。
  • どんなシーン？ クリック位置の足場判定、到達可否チェック。
public static bool IsPointInTriangleXZ(Vector3 p, Vector3 a, Vector3 b, Vector3 c)
{
    const float eps = 1e-6f;
    bool SameSide(Vector3 p1, Vector3 p2, Vector3 e1, Vector3 e2)
    {
        Vector3 d1 = (e2 - e1);
        Vector3 c1 = Vector3.Cross(d1, p1 - e1);
        Vector3 c2 = Vector3.Cross(d1, p2 - e1);
        // 両方が非負（または非正）なら同じ側、境界は許容
        return (c1.y >= -eps && c2.y >= -eps) || (c1.y <= eps && c2.y <= eps);
    }
    return SameSide(p, a, b, c) && SameSide(p, b, c, a) && SameSide(p, c, a, b);
}

各辺に対する外積の y 符号が同じなら内部。浮動小数点のブレ吸収に eps を導入。XZ前提で判定。

5) ローカル基底（Right/Up/Forward）を組む

  • 何が決まる？ 直交基底（right, up）。
  • どんなシーン？ 入力のローカル変換、カメラ/ビルボード軸、ギズモ基準。
public static void BuildBasis(Vector3 forward, out Vector3 right, out Vector3 up)
{
    forward = forward.normalized;
    Vector3 arbitraryUp = (Mathf.Abs(forward.y) > 0.999f) ? Vector3.forward : Vector3.up;
    right = Vector3.Cross(arbitraryUp, forward).normalized;
    up    = Vector3.Cross(forward, right); // 直交を保証
}

forward ≈ up での特異ケースを回避するため、代替 Up を選択してから直交化。

Unityの便利メソッドで書くなら

public static void BuildBasisWithLookRotation(Vector3 forward, out Vector3 right, out Vector3 up)
{
    forward = forward.normalized;
    Vector3 safeUp = (Mathf.Abs(Vector3.Dot(forward, Vector3.up)) > 0.999f) ? Vector3.forward : Vector3.up;
    Quaternion q = Quaternion.LookRotation(forward, safeUp);
    right = q * Vector3.right;
    up    = q * Vector3.up;
}

LookRotation は forward ≈ up で不安定になり得るため safeUp を用意。

6) 斜面に沿ってスライドさせる方向

  • 何が決まる？ 接地面上の接線方向（移動ベクトル）。
  • どんなシーン？ 自然な滑り、段差回避の流し込み。
Vector3 moveDir = Vector3.ProjectOnPlane(forward, groundNormal).normalized;
controller.Move(moveDir * speed * Time.deltaTime);

ProjectOnPlane(v, n) は「法線 n を除去」。正規化してスカラー速度を掛ける。

7) 点と直線の距離（3D）

  • 何が決まる？ 最短距離（スカラー）。
  • どんなシーン？ レーザーからの距離評価、IK距離コスト、近接イベント。
public static float DistancePointToLine(Vector3 p, Vector3 a, Vector3 dir)
{
    if (dir.sqrMagnitude < 1e-8f) return 0f;
    Vector3 pa = p - a;
    return Vector3.Cross(pa, dir).magnitude / dir.magnitude;
}

|pa × dir| / |dir|。dir が極小だと不安定なのでガード。

Unityの便利メソッドで書くなら（投影差分）

public static float DistancePointToLine_Project(Vector3 p, Vector3 a, Vector3 dir)
{
    if (dir.sqrMagnitude < 1e-8f) return 0f;
    Vector3 pa = p - a;
    Vector3 along = Vector3.Project(pa, dir);
    Vector3 perp  = pa - along;
    return perp.magnitude;
}

投影して直交成分の長さを測るアプローチ。数値的にも直感的。

8) 回転軸の算出（From→To）

  • 何が決まる？ 最小回転の軸ベクトル（と角度）。
  • どんなシーン？ LookAtの補正、ジョイント回転、補間の基準軸。
public static Vector3 RotationAxis(Vector3 from, Vector3 to)
{
    Vector3 a = from.normalized, b = to.normalized;
    return Vector3.Cross(a, b); // 平行/反平行では ~zero
}

平行/反平行で軸がゼロに近づく。閾値以下のときのフォールバック（任意軸）を設計。

Unityの便利メソッドで書くなら

public static void FromTo_AngleAxis(Vector3 from, Vector3 to, out float angleDeg, out Vector3 axis)
{
    Quaternion q = Quaternion.FromToRotation(from, to);
    q.ToAngleAxis(out angleDeg, out axis);
}

FromToRotation は最小回転を返す。角度と軸で後段へ渡せる。

9) 軸計算：Right = Up × Forward

  • 何が決まる？ カメラの右（横）方向ベクトル。
  • どんなシーン？ ストレイフ、カメラ操作、スクリーンスペース投影。
Vector3 right = Vector3.Cross(Vector3.up, cameraForward).normalized;
// 代替: Quaternion.LookRotation(cameraForward, Vector3.up) * Vector3.right

Cross(up, forward) の順序に注意（左手系）。用途ごとに順序を固定しておくと符号混乱を防げる。

10) トルクの向き（r × F）

  • 何が決まる？ 回転方向ベクトル（外積の向き）。
  • どんなシーン？ ドアの開閉、車輪/プロペラの回転、物理挙動の可視化。
Vector3 Torque(Vector3 r, Vector3 F) => Vector3.Cross(r, F);

// 使用例（力点と力で剛体を回す）
var rb = GetComponent<Rigidbody>();
rb.AddForceAtPosition(force, position);
// 向きのデバッグ（CM基準のトルク方向）
Vector3 torqueDir = Vector3.Cross(position - rb.worldCenterOfMass, force);

r × F の符号は引数順に依存。可視化用にギズモ矢印を出すとデバッグしやすい。

11) 2Dでの90°回転ベクトル

  • 何が決まる？ 入力に直交する接ベクトル/法線。
  • どんなシーン？ 2D壁沿い移動、ポリゴン辺の法線生成、スクロール方向変換。
public static Vector2 PerpCCW(Vector2 v) => new Vector2(-v.y,  v.x);
public static Vector2 PerpCW (Vector2 v) => new Vector2( v.y, -v.x);

スクリーン座標（+Y上）では PerpCCW が「反時計回りに90°」。

Unityの便利メソッドで書くなら

Vector2 n = Vector2.Perpendicular(v); // 反時計回りに90°

Perpendicular の向きは CCW（反時計回り）。右/左の定義と混同しない。

API早見表（外積 ⇔ Unity標準）

目的/用途 数式・概念 Unity標準API 注意点
右/左判定（XZ, up=Y） 右: Cross(f,t).y > 0 / 左: < 0 右: SignedAngle(f,t,up) < 0 / 左: > 0 XZ投影、up を明示。符号は from/to/axis 前提に依存。
法線ベクトル n = Cross(b-a, c-a) new Plane(a,b,c).normal 頂点順序で法線向きが決まる。
三角形の面積 0.5 * |Cross(u,v)| 0.5 * |u||v| * sinθ 同値。外積ノルムの方が実装簡潔。
点と直線の距離 |Cross(p-a, d)| / |d| |(p-a) - Project(p-a,d)| d が微小/ゼロでないかチェック。
回転軸の算出 axis = Cross(from̂, tô) FromToRotation → ToAngleAxis 平行/反平行時のフォールバックを用意。
基底構築 right = Cross(up, f) LookRotation(f, up) / OrthoNormalize forward ≈ up 特異ケースに注意。

パフォーマンスと落とし穴

  • ゼロ/平行チェック：Cross が微小なら符号や正規化が不安定。閾値分岐を。
  • 正規化は必要な時だけ：多用時は sqrMagnitude 比較を活用。
  • 座標系の前提：左右判定では Up を何に取るか を明示（傾き/BANKでの意図ズレを防ぐ）。
  • 便利メソッドの活用：SignedAngle / ProjectOnPlane / LookRotation / OrthoNormalize は堅実（ただし特異ケース注意）。

まとめ

  • 外積は“符号付きの向き”と“平面幾何”の即戦力。
  • 直感重視なら Cross、安定重視や読みやすさなら便利メソッドも併用。
  • ゼロ/平行/Up軸前提の取り扱い徹底で堅牢で読みやすい実装に。
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