「ラビットチャレンジ」提出レポート
##１．機械学習とは
■　（トム・ミッチェル　1997）の定義

コンピュータプログラムはタスク $T$ とパフォーマンス測定 $P$ に関連する経験 $E$ から学習すると言われています。タスク $T$ でパフォーマンスをした場合、パフォーマンス測定 $P$ によって達成度が測定され、経験 $E$ によって改善されていきます。

■　機械学習モデリングプロセス

　●　Step 1 ：問題設定（どのような課題を機械学習に解決させるか）
　●　Step 2 ：データ選定（どのようなデータを使うか）
　●　Step 3 ：データの前処理（モデルに学習させられるようにデータを加工する）
　●　Step 4 ：機械学習モデルの選定（どの機械学習モデルを利用するか）
　●　Step 5 ：モデルの学習（パラメータ推定）
　●　Step 6 ：モデル評価（ハイパーパラメータの選定、モデル精度を測る）

##２．線形回帰モデル
■　**回帰問題：**離散値あるいは連続値の入力から連続値の出力を予測する
■　**回帰で扱うデータ：**説明変数または特徴量（入力）と目的変数（出力）
■　**線形回帰モデル：**教師あり学習で、入力と $ｍ$ 次元パラメータの線形結合を出力するモデル($ｍ＝１$の場合、単回帰モデルという)
■　**線形結合：**入力とパラメータの内積

　●　パラメータ： $w$ = ($w_1$ ,$w_2$ ,・・・,$w_m$)$^T$ $\subset$ $\mathbb{R}^m$
　●　説明変数：$\quad$$x$ = ($x_1$ ,$x_2$ ,・・・,$x_m$)$^T$ $\subset$ $\mathbb{R}^m$
　●　線形結合：

\hat{y} = w^Tx + w_0= \sum_{j=1}^{m} w_jx_j + w_0

そこで、$\hat{y}$　は予測値という。
##３．データ分割・学習
■　データ分割：　モデルの汎化性能を測定するため、データを学習用データと検証用データに分割する
■　最小二乗法：

　●　学習データの平均二乗誤差を最小とするパラメータを探索する
　●　学習データの平均二乗誤差を最小は、その勾配が０になる点を求めれば良い。
　●　学習データの平均二乗誤差は次式の通りに書きます。

MSE_{train} = \frac{1}{n_{train}}\sum_{i=1}^{n_{train}}(\hat{y}_i^{(train)}-y_i^{(train)})^2

##４．ハンズオン
###【演習実施結果】線形回帰モデル-Boston Hausing Data-
■　必要モジュールとデータのインポート

"print(boston)"の結果

{'data': array([[6.3200e-03, 1.8000e+01, 2.3100e+00, ..., 1.5300e+01, 3.9690e+02,
        4.9800e+00],
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       [2.7290e-02, 0.0000e+00, 7.0700e+00, ..., 1.7800e+01, 3.9283e+02,
        4.0300e+00],
       ...,
       [6.0760e-02, 0.0000e+00, 1.1930e+01, ..., 2.1000e+01, 3.9690e+02,
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       [4.7410e-02, 0.0000e+00, 1.1930e+01, ..., 2.1000e+01, 3.9690e+02,
        7.8800e+00]]), 'target': array([24. , 21.6, 34.7, 33.4, 36.2, 28.7, 22.9, 27.1, 16.5, 18.9, 15. ,
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       32. , 33.2, 33.1, 29.1, 35.1, 45.4, 35.4, 46. , 50. , 32.2, 22. ,
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       13.8, 15. , 13.9, 13.3, 13.1, 10.2, 10.4, 10.9, 11.3, 12.3,  8.8,
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       12.5,  8.5,  5. ,  6.3,  5.6,  7.2, 12.1,  8.3,  8.5,  5. , 11.9,
       27.9, 17.2, 27.5, 15. , 17.2, 17.9, 16.3,  7. ,  7.2,  7.5, 10.4,
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       'TAX', 'PTRATIO', 'B', 'LSTAT'], dtype='<U7'), 'DESCR': ".. _boston_dataset:\n\nBoston house prices dataset\n---------------------------\n\n**Data Set Characteristics:**  \n\n    :Number of Instances: 506 \n\n    :Number of Attributes: 13 numeric/categorical predictive. Median Value (attribute 14) is usually the target.\n\n    :Attribute Information (in order):\n        - CRIM     per capita crime rate by town\n        - ZN       proportion of residential land zoned for lots over 25,000 sq.ft.\n        - INDUS    proportion of non-retail business acres per town\n        - CHAS     Charles River dummy variable (= 1 if tract bounds river; 0 otherwise)\n        - NOX      nitric oxides concentration (parts per 10 million)\n        - RM       average number of rooms per dwelling\n        - AGE      proportion of owner-occupied units built prior to 1940\n        - DIS      weighted distances to five Boston employment centres\n        - RAD      index of accessibility to radial highways\n        - TAX      full-value property-tax rate per $10,000\n        - PTRATIO  pupil-teacher ratio by town\n        - B        1000(Bk - 0.63)^2 where Bk is the proportion of blacks by town\n        - LSTAT    % lower status of the population\n        - MEDV     Median value of owner-occupied homes in $1000's\n\n    :Missing Attribute Values: None\n\n    :Creator: Harrison, D. and Rubinfeld, D.L.\n\nThis is a copy of UCI ML housing dataset.\nhttps://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/housing/\n\n\nThis dataset was taken from the StatLib library which is maintained at Carnegie Mellon University.\n\nThe Boston house-price data of Harrison, D. and Rubinfeld, D.L. 'Hedonic\nprices and the demand for clean air', J. Environ. Economics & Management,\nvol.5, 81-102, 1978.   Used in Belsley, Kuh & Welsch, 'Regression diagnostics\n...', Wiley, 1980.   N.B. Various transformations are used in the table on\npages 244-261 of the latter.\n\nThe Boston house-price data has been used in many machine learning papers that address regression\nproblems.   \n     \n.. topic:: References\n\n   - Belsley, Kuh & Welsch, 'Regression diagnostics: Identifying Influential Data and Sources of Collinearity', Wiley, 1980. 244-261.\n   - Quinlan,R. (1993). Combining Instance-Based and Model-Based Learning. In Proceedings on the Tenth International Conference of Machine Learning, 236-243, University of Massachusetts, Amherst. Morgan Kaufmann.\n", 'filename': '/usr/local/lib/python3.6/dist-packages/sklearn/datasets/data/boston_house_prices.csv'}

"print(boston['DESCR'])"の結果

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Boston house prices dataset
---------------------------

**Data Set Characteristics:**  

    :Number of Instances: 506 

    :Number of Attributes: 13 numeric/categorical predictive. Median Value (attribute 14) is usually the target.

    :Attribute Information (in order):
        - CRIM     per capita crime rate by town
        - ZN       proportion of residential land zoned for lots over 25,000 sq.ft.
        - INDUS    proportion of non-retail business acres per town
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        - PTRATIO  pupil-teacher ratio by town
        - B        1000(Bk - 0.63)^2 where Bk is the proportion of blacks by town
        - LSTAT    % lower status of the population
        - MEDV     Median value of owner-occupied homes in $1000's

    :Missing Attribute Values: None

    :Creator: Harrison, D. and Rubinfeld, D.L.

This is a copy of UCI ML housing dataset.
https://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/housing/


This dataset was taken from the StatLib library which is maintained at Carnegie Mellon University.

The Boston house-price data of Harrison, D. and Rubinfeld, D.L. 'Hedonic
prices and the demand for clean air', J. Environ. Economics & Management,
vol.5, 81-102, 1978.   Used in Belsley, Kuh & Welsch, 'Regression diagnostics
...', Wiley, 1980.   N.B. Various transformations are used in the table on
pages 244-261 of the latter.

The Boston house-price data has been used in many machine learning papers that address regression
problems.   
     
.. topic:: References

   - Belsley, Kuh & Welsch, 'Regression diagnostics: Identifying Influential Data and Sources of Collinearity', Wiley, 1980. 244-261.
   - Quinlan,R. (1993). Combining Instance-Based and Model-Based Learning. In Proceedings on the Tenth International Conference of Machine Learning, 236-243, University of Massachusetts, Amherst. Morgan Kaufmann.

"print(boston['target'])"の結果

[24.  21.6 34.7 33.4 36.2 28.7 22.9 27.1 16.5 18.9 15.  18.9 21.7 20.4
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 20.4 18.5 25.  24.6 23.  22.2 19.3 22.6 19.8 17.1 19.4 22.2 20.7 21.1
 19.5 18.5 20.6 19.  18.7 32.7 16.5 23.9 31.2 17.5 17.2 23.1 24.5 26.6
 22.9 24.1 18.6 30.1 18.2 20.6 17.8 21.7 22.7 22.6 25.  19.9 20.8 16.8
 21.9 27.5 21.9 23.1 50.  50.  50.  50.  50.  13.8 13.8 15.  13.9 13.3
 13.1 10.2 10.4 10.9 11.3 12.3  8.8  7.2 10.5  7.4 10.2 11.5 15.1 23.2
  9.7 13.8 12.7 13.1 12.5  8.5  5.   6.3  5.6  7.2 12.1  8.3  8.5  5.
 11.9 27.9 17.2 27.5 15.  17.2 17.9 16.3  7.   7.2  7.5 10.4  8.8  8.4
 16.7 14.2 20.8 13.4 11.7  8.3 10.2 10.9 11.   9.5 14.5 14.1 16.1 14.3
 11.7 13.4  9.6  8.7  8.4 12.8 10.5 17.1 18.4 15.4 10.8 11.8 14.9 12.6
 14.1 13.  13.4 15.2 16.1 17.8 14.9 14.1 12.7 13.5 14.9 20.  16.4 17.7
 19.5 20.2 21.4 19.9 19.  19.1 19.1 20.1 19.9 19.6 23.2 29.8 13.8 13.3
 16.7 12.  14.6 21.4 23.  23.7 25.  21.8 20.6 21.2 19.1 20.6 15.2  7.
  8.1 13.6 20.1 21.8 24.5 23.1 19.7 18.3 21.2 17.5 16.8 22.4 20.6 23.9
 22.  11.9]

■　データフレームの作成

■　線形単回帰分析

**【結果】**上記の予測結果を見ると、一戸あたりの平均部屋数が１の場合、住宅価格は[-25.5685118]となる．また、一戸あたりの平均部屋数が４の場合、住宅価格は以下になります。

■　重回帰分析(2変数)

**【結果】**上記の予測結果を見ると、一戸あたりの平均部屋数が７、犯罪発生率　0.2 の場合、住宅価格は[29.43977562]。また、一戸あたりの平均部屋数が４、犯罪発生率 0.3 の場合、住宅価格[4.24007956]
■　回帰係数と切片の値を確認

■　モデルの検証

###【考察】
■　下記の結果より、重回帰の方が精度が良いと言える。
（単回帰決定係数: 0.483, 重回帰決定係数 : 0.542）

##５．演習問題関連
###相関係数について

相関係数とは、2 種類のデータの関係を示す指標です。相関係数は無単位なので、単位の影響を受けずにデータの関連性を示します。相関係数は -1 から 1 までの値を取ります。

(参考）相関係数の意味と求め方 - 公式と計算例
###リッジ回帰、ラッソ回帰について

重回帰分析の損失関数に正則化項を加えたものがリッジ回帰、及びラッソ回帰になります。リッジ回帰では$L2$ノルムの二乗、ラッソ回帰では$L1$ノルムを正則化項として使います。

（参考）リッジ回帰とラッソ回帰の理論と実装を初めから丁寧に

##【機械学習】レポート一覧
【ラビットチャレンジ】【機械学習】非線形回帰モデル
 【ラビットチャレンジ】【機械学習】ロジスティク回帰モデル
 【ラビットチャレンジ】【機械学習】主成分分析
 【ラビットチャレンジ】【機械学習】アルゴリズム
 【ラビットチャレンジ】【機械学習】サポートベクターマシン