開発環境のRDSを本番環境のデータで置き換える必要があったので、その方法のメモです。
そこまで複雑な手順ではないですが、忘れてしまいそうなので手順をまとめておこうと思います。

本番環境でSnapshotを作成

AWSのマネジメントコンソールから対象DBのSnapshotの作成を行います。

Snapshotの共有

作成されたSnapshotを選択し、スナップショップの共有（Share snapshot）を選択します。

この時に、以下のようなメッセージが表示された場合、共有可能なキーで暗号化した上で、共有する必要があります。

Key Management Service(KMS)を使用し、Snapshotを暗号化するためのキーを作成します。

1. キーの作成 (Create key)をクリック

2. 次へ(Next)をクリック

3. エイリアスを入力し、次へ(Next)をクリック

4. デフォルトの権限は何も選択せずに、次へ(Next)をクリック

5. 共有先のAWSアカウントのIDを入力し、次へ(Next)をクリック
権限の設定は不要です！

6. 終了(Finish)をクリックし、作業を完了する

先ほど作成したキーを使用し、先の手順で作成したSnapshotのコピーを作成します。

1. スナップショットのコピー (Copy snapshot) をクリック

2. スナップショットの名前を入力し、先ほど作成したAWS KMS Keyを選択

先ほどコピーしたスナップショットを選択し、スナップショットの共有を実行します。

1. スナップショットの共有 (Share snapshot) をクリック

2. 共有先のAWSアカウントのIDを追加し、保存(Save)をクリック

先ほど共有されたスナップショットがリスト(Share with me)に表示されるので、対象のスナップショットを選択。
スナップショットの復元（Restore snapshot）を選択し展開する。

本番環境からのコピーは、新規のRDSインスタンスとして立ち上がるので、接続しているアプリの接続情報等を変更する必要があります。

以上で、作業は完了です。