当記事では下記を参考に「フーリエ級数の式からのフーリエ変換の式の導出」について取りまとめました。
前提の確認
フーリエ級数
$T$を区間幅、$\displaystyle \omega_{0} = \frac{2 \pi}{T}$を基本周波数とするとき区間$\displaystyle \left[ -\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right]$におけるフーリエ級数は下記のように表すことができます。
\begin{align}
f(t) &= \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_{k}\cos{k \omega_{0} t} + b_{k}\sin{k \omega_{0} t} \right), \qquad -\frac{T}{2} \leq t \leq \frac{T}{2} \\
a_{k} &= \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos{k \omega_{0} t} dt \\
b_{k} &= \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin{k \omega_{0} t} dt
\end{align}
オイラーの式と三角関数
\begin{align}
e^{i \theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta} \quad (1)
\end{align}
上記のような式をオイラーの式と呼びます。ここでオイラーの式の$\theta$を$-\theta$で置き換えることで下記を得ることができます。
\begin{align}
e^{-i \theta} &= \cos{(-\theta)} + i \sin{(-\theta)} \\
&= \cos{\theta} - i \sin{\theta} \quad (2)
\end{align}
ここで$(1)+(2)$と$(1)-(2)$を計算することによって下記のように$\cos{\theta}$と$\sin{\theta}$を得ることが可能です。
\begin{align}
e^{i \theta} + e^{-i \theta} &= (\cos{\theta} + i \sin{\theta}) + (\cos{\theta} - i \sin{\theta}) \quad (1)+(2) \\
2 \cos{\theta} &= e^{i \theta} + e^{-i \theta} \\
\cos{\theta} &= \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} \\
e^{i \theta} - e^{-i \theta} &= (\cos{\theta} + i \sin{\theta}) - (\cos{\theta} - i \sin{\theta}) \quad (1)-(2) \\
2i \sin{\theta} &= e^{i \theta} - e^{-i \theta} \\
\sin{\theta} &= \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i}
\end{align}
フーリエ級数の式からのフーリエ変換の導出
フーリエ級数の複素表示
\begin{align}
\cos{\theta} &= \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} \\
\sin{\theta} &= \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i}
\end{align}
前節のフーリエ級数の式に上記を代入すると下記が得られます。
\begin{align}
f(t) &= \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_{k}\cos{k \omega_{0} t} + b_{k}\sin{k \omega_{0} t} \right) \\
&= \frac{a_{0}}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_{k}(e^{i k \omega_{0} t} + e^{-i k \omega_{0} t}) - i b_{k}(e^{i k \omega_{0} t} - e^{-i k \omega_{0} t}) \right) \\
&= \frac{a_{0}}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \left( (a_{k}-ib_{k})e^{i k \omega_{0} t} + (a_{k}+i b_{k}) e^{-i k \omega_{0} t} \right) \\
\end{align}
ここで下記のように$C_{k}$を定義します。
\begin{align}
C_{k} = \left\{ \,
\begin{aligned}
& \frac{1}{2}(a_{k} - ib_{k}) \qquad (k>0) \\
& \frac{1}{2}a_{0} \qquad (k=0) \\
& \frac{1}{2}(a_{-k} + ib_{-k}) \qquad (k<0)
\end{aligned}
\right.
\end{align}
このとき$f(t)$は下記のように表すことができます。
\begin{align}
f(t) &= \frac{a_{0}}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \left( (a_{k}-ib_{k})e^{i k \omega_{0} t} + (a_{k}+i b_{k}) e^{-i k \omega_{0} t} \right) \\
&= \sum_{-\infty}^{\infty} C_{k} e^{i k \omega_{0} t}
\end{align}
\begin{align}
a_{k} &= \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos{k \omega_{0} t} dt \\
b_{k} &= \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin{k \omega_{0} t} dt
\end{align}
また、上記が成立することから$C_{k}$について下記のような変形が可能です。
\begin{align}
\frac{1}{2}(a_{k} - ib_{k}) &= \frac{1}{\cancel{2}} \times \frac{\cancel{2}}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) (\cos{k \omega_{0} t} - i \sin{k \omega_{0} t}) dt \\
&= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i k \omega_{0} t} dt \\
\frac{1}{2}a_{0} &= \frac{1}{\cancel{2}} \times \frac{\cancel{2}}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) dt \\
&= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) dt \\
\frac{1}{2}(a_{-k} + ib_{-k}) &= \frac{1}{\cancel{2}} \times \frac{\cancel{2}}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) (\cos{(-k \omega_{0} t)} + i \sin{(-k \omega_{0} t)}) dt \\
&= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) (\cos{k \omega_{0} t} - i \sin{k \omega_{0} t}) dt \\
&= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i k \omega_{0} t} dt
\end{align}
上記より$C_{k}$(複素フーリエ係数)は下記のようにまとめることができます。
\begin{align}
C_{k} = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i k \omega_{0} t} dt
\end{align}
ここまでの内容に基づいてフーリエ級数は下記のように複素表示を行うことが可能です。
\begin{align}
f(t) &= \sum_{-\infty}^{\infty} C_{k} e^{i k \omega_{0} t} \\
C_{k} &= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i k \omega_{0} t} dt
\end{align}
フーリエ変換
$\omega_{k} = k \omega_{k}, , k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$のようにおくとき前項のフーリエ級数の複素表示の式は下記のように表すことができます。
\begin{align}
f(t) &= \sum_{-\infty}^{\infty} C_{k} e^{i \omega_{k} t} \quad (2.1) \\
C_{k} &= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i \omega_{k} t} dt \quad (2.2)
\end{align}
またここで下記のように$\Delta \omega$と$C_{k}$を定義します。
\begin{align}
\Delta \omega &= \omega_{k+1}-\omega_{k} = \omega_{o} = \frac{2 \pi}{T} \\
C_{k} &= \frac{F(\omega_{k})}{T}
\end{align}
このとき$(2.1)$式と$(2.2)$式は下記のように変形できます。
・$(2.1)$式の変形(逆フーリエ変換の導出)
\begin{align}
f(t) &= \sum_{-\infty}^{\infty} C_{k} e^{i \omega_{k} t} \quad (2.1) \\
&= \sum_{-\infty}^{\infty} \frac{F(\omega_{k})}{T} e^{i \omega_{k} t} \\
&= \sum_{-\infty}^{\infty} \frac{F(\omega_{k}) \Delta \omega}{2 \pi} e^{i \omega_{k} t} \\
&= \frac{1}{2 \pi} \sum_{-\infty}^{\infty} F(\omega_{k}) e^{i \omega_{k} t} \Delta \omega \\
& \longrightarrow \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i \omega t} d \omega \qquad (T \to \infty, \Delta \omega \to 0)
\end{align}
・$(2.2)$式の変形(フーリエ変換の導出)
\begin{align}
C_{k} &= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i \omega_{k} t} dt \quad (2.2) \\
\frac{F(\omega_{k})}{T} &= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i \omega_{k} t} dt \\
F(\omega_{k}) &= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i \omega_{k} t} dt
\end{align}
上記の両辺について$T \to \infty, \Delta \omega \to 0$の極限を考えると下記が得られます。
\begin{align}
F(\omega) = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i \omega t} dt
\end{align}