当記事では下記を参考に「畳み込み積分とフィルター」について取りまとめました。
畳み込み積分の定義と畳み込み積分定理
畳み込み積分の定義
関数$f(t)$と$g(t)$の畳み込み積分$f(t)*g(t)$は下記のような式で定義されます。
\begin{align}
f(t)*g(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(s)g(t-s) ds
\end{align}
畳み込み積分について成立する式とその導出
分配法則
\begin{align}
f(t)*(ag(t)+bh(t)) = af(t)*g(t) + bf(t)*h(t)
\end{align}
上記の式は畳み込み積分の定義に基づいて下記のように導出できます。
\begin{align}
f(t)*(ag(t)+bh(t)) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(s)(ag(t-s)+bh(s)) ds \\
&= a \int_{-\infty}^{\infty} f(s)g(t-s) ds + b \int_{-\infty}^{\infty} f(s)h(t-s) ds \\
&= af(t)*g(t) + bf(t)*h(t)
\end{align}
交換法則
\begin{align}
f(t)*g(t) = g(t)*f(t)
\end{align}
上記の式は畳み込み積分の定義に基づいて下記のように導出できます。
\begin{align}
f(t)*g(t) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(s)g(t-s) ds \\
&= -\int_{\infty}^{-\infty} f(t-s')g(s') ds' \qquad (s'=t-s, \, s=t-s', ds=-ds') \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} g(s')f(t-s') ds' = g(t)*f(t)
\end{align}
結合法則
\begin{align}
(f(t)*g(t))*h(t) = f(t)*(g(t)*h(t))
\end{align}
畳み込み積分定理
「関数$f(t), g(t)$のフーリエ変換を$F(\omega), G(\omega)$とおくとき$f(t)*g(t)$のフーリエ変換が$F(\omega)G(\omega)$で得られる」ことを畳み込み積分定理といいます。以下この定理について導出します。
\begin{align}
& \int_{-\infty}^{\infty} f(t)*g(t) e^{-i \omega t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(s)g(t-s) ds \right) e^{-i \omega t} dt \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} f(s) \left( \int_{-\infty}^{\infty} g(t-s) e^{-i \omega t} dt \right) ds \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} f(s) \left( \int_{-\infty}^{\infty} g(t') e^{-i \omega (t'+s)} dt' \right) ds \qquad (t'=t-s) \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} f(s) \left( \int_{-\infty}^{\infty} g(t') e^{-i \omega t'} dt' \right) e^{-i \omega s} ds \\
&= \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(s) e^{-i \omega s} ds \right) \left( \int_{-\infty}^{\infty} g(t') e^{-i \omega t'} dt' \right) \\
&= F(\omega)G(\omega)
\end{align}
上記より畳み込み積分定理が成立します。
フィルター
関数$f(t)$の値を時刻$t$を中心とする幅$2W$の区間で平均した関数を$\bar{f}(t)$のように定義すると$\bar{f}(t)$は下記のように表すことができます。
\begin{align}
\bar{f}(t) = \frac{1}{2W} \int_{-W}^{W} f(t-s) ds \quad (1)
\end{align}
ここで下記のような方形窓を表す関数$w(t)$を定義します。
\begin{align}
w(t) = \left\{ \,
\begin{aligned}
& \frac{1}{2W} \qquad \left( -W \leq t \leq W \right) \\
& 0 \qquad (\mathrm{otherwise})
\end{aligned}
\right.
\end{align}
このとき$(1)$式の$\bar{f}(t)$は下記のように方形窓$w(t)$に基づく畳み込み積分を用いて表すこともできます。
\begin{align}
\bar{f}(t) &= \frac{1}{2W} \int_{-W}^{W} f(t-s) ds \quad (1) \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} w(s)f(t-s) ds = w(t)*f(t)
\end{align}