この記事では，K-means クラスタリングの一致性について で推定量の可測性を保証するために使った可測選択定理とその証明を紹介します．可測選択定理は例えば，M 推定量や Z 推定量の可測性を示すのに使えます．
証明する定理は次の通りです．
Bogachev (2007) Theorem 6.9.13
$(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ は完備確率空間，$X$ は Suslin 空間，$\Psi:\Omega\to2^{X}\backslash\{\emptyset\}$ は $\Gamma_\Psi:=\{(\omega,x)\in\Omega\times X\mid x\in\Psi(\omega)\}\in\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}(X)$ を満たすとする．このとき，$\mathcal{A}/\mathcal{B}(X)$-可測な $f:\Omega\to X$ で，任意の $\omega\in\Omega$ に対し，$f(\omega)\in\Psi(\omega)$ を満たすものが存在．
応用例
一見すると，何ができるようになったのかよくわからないので，先に Z 推定量と M 推定量の可測性を示す応用例を挙げます．
Z 推定量の可測性
$\Theta$ は Suslin 空間，$(\Omega,\mathcal{F},\operatorname{P})$ は完備確率空間とする．さらに，
- $(\theta,\omega)\mapsto \Psi_{n}(\theta)(\omega)$ は可測．
- 任意の $\omega\in\Omega$ に対して，ある $\theta_{\omega}\in\Theta$ が存在して，$\Psi_{n}(\theta_{\omega})(\omega)=0.$
を仮定する．このとき，ある可測写像 $\tilde\theta_{n}:\Omega\to\Theta$ が存在して，任意の $\omega\in\Omega$ に対し，$\Psi_{n}(\tilde{\theta}_{n}(\omega))(\omega)=0$ が成立．
証明
$\Phi:\Omega\to2^{\Theta}\backslash\{\emptyset\}$ を
\Phi(\omega)=\left\{\theta\in\Theta\mid \Psi_{n}(\theta)(\omega)=0\right\}
で定めると， $\Phi$ のグラフ $\Gamma_\Phi:=\{(\omega,\theta)\mid \Psi_{n}(\theta)(\omega)=0\}$ は可測．したがって Bogachev (2007) Theorem 6.9.13 より，ある可測写像 $\tilde{\theta}_{n}:\Omega\to\Theta$ で，任意の $\omega\in\Omega$ に対し，$\tilde{\theta}_{n}(\omega)\in\Phi(\omega)$ を満たすものが存在（証明終わり）．
M 推定量の可測性
$\Theta$ は Suslin 空間，$(\Omega,\mathcal{F},\operatorname{P})$ は完備確率空間とする．さらに，
- $(\theta,\omega)\mapsto M_{n}(\theta)(\omega)$ は可測．
- 任意の $\omega\in\Omega$ に対して，ある $\theta_{\omega}\in\Theta$ が存在して，$M_{n}(\theta_{\omega})(\omega)=\sup_{\theta\in\Theta}M_{n}(\theta)(\omega).$
を仮定する．このとき，ある可測写像 $\tilde\theta_{n}:\Omega\to\Theta$ が存在して，任意の $\omega\in\Omega$ に対し，$M_{n}(\tilde{\theta}_{n}(\omega))(\omega)=\sup_{\theta\in\Theta}M_{n}(\theta)(\omega)$ が成立．
証明
付録の補題A.3より，$g(\omega)=\sup_{\theta\in\Theta}M_{n}(\theta)(\omega)$ は可測．
次に，$\Phi:\Omega\to2^{\Theta}\backslash\{\emptyset\}$ を
\Phi(\omega):=\left\{\theta\in\Theta\mid M_{n}(\theta)(\omega)=\sup_{\theta’\in\Theta}M_{n}(\theta’)(\omega)\right\}
で定めると， $\Gamma_\Phi$ は可測．したがって Bogachev (2007) Theorem 6.9.13 より，ある可測写像 $\tilde{\theta}_{n}:\Omega\to\Theta$ で，任意の $\omega\in\Omega$ に対し， $\tilde{\theta}_{n}(\omega)\in\Gamma(\omega)$ を満たすものが存在．
準備
用語の準備
まずは，Suslin 集合，Suslin 空間を定義します．
Suslin 集合，Suslin 空間
Hausdorff 空間 $(T,\mathcal{O})$ の集合 $S\subset T$ が Suslin 集合であるとは，ある完備可分距離空間から $S$ への連続な全射が存在することである．$T$ が Suslin 集合なら，$T$ を Suslin 空間という．空集合 $\emptyset$ は Suslin 集合とする．
Suslin 空間 (Souslin 空間) の名前の由来は，ロシアの数学者 Михаи́л Я́ковлевич Су́слин (Mikhail Yakovlevich Suslin; ミハイル・ヤコヴレヴィチ・ススリン) です．Suslin 集合，Suslin 空間の性質をいくつか述べておきます．
- Borel 集合は Suslin 集合 (Bogachev, 2007, Corollary 6.6.7)
- Suslin 集合の可算個の直積は Suslin 集合 (Bogachev, 2007, Lemma 6.6.5)
- Suslin 集合の連続写像による Hausdorff 空間への像は Suslin 集合 (Bogachev, 2007, Lemma 6.6.5)
- Suslin 集合全体の集合は可算和・可算交差に閉じる (Bogachev, 2007, Theorem 6.6.6)
以降，測度空間 $(X,\mathcal{A},\mu)$ について，$\mathcal{A}$ の完備化を $\mathcal{A}_{\mu}$ で表します．
補題の準備
ここからいくつかの命題を積み重ねていきます．
Bogachev (2007) Theorem 6.5.5
$(E,\mathcal{E})$ は可測空間とする．$\mathcal{E}$ が可算生成であることは，$\mathcal{E}/\mathcal{B}([0,1])$-可測関数 $f:E\to[0,1]$ が存在して，$\mathcal{E}=\{f^{-1}(B)\mid B\in\mathcal{B}([0,1])\}$ と表せることと同値．
※ $\mathcal{E}$ が可算生成であるとは，高々可算個の集合列 $\{A_{n}\}\subset \mathcal{E}$ が存在して，$\mathcal{E}=\sigma[{A_{n}}]$ と表せることです．
証明
$\{f^{-1}(B)\mid B\in \mathcal{B}([0,1])\}$ は可算生成．実際，生成系として $\{f^{-1}([0,q])\mid q\in\mathbb{Q}\cap[0,1]\}$ が取れる．$\mathcal{E}$ は可算生成と仮定する．$\mathcal{E}=\sigma[\{A_{n}\}]$ と表せる．
$$
f(x):=\sum\limits_{n=1}^{\infty}3^{-n}1_{A_{n}}(x)
$$
とすると，$f$ は $\mathcal{E}/\mathcal{B}([0,1])$-可測．$A_{1}=f^{-1}([1/3,2/3]),A_{2}=f^{-1}([1/9,2/9]\cup[1/3+1/9,1/3+2/9])$ と表せる．$n\geq3$ 以降の $A_{n}$ についても同様で，$\{A_{n}\}\subset\mathcal{A}:=\{f^{-1}(B)\mid B\in\mathcal{B}([0,1])\}$ が成立．したがって，$\sigma[\{A_{n}\}]\subset\mathcal{A}$ だが，$\mathcal{A}$ は $f$ を可測にする最小の $\sigma$-加法族なので $\mathcal{A}\subset\mathcal{E}$ も成立．よって，$\mathcal{E}=\mathcal{A}$ である（証明終わり）．
補題1
$(X,\mathcal{A}),(Y,\mathcal{B})$ は可測空間とする．任意の $M\in\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}$ に対し，ある高々可算な $\{A_{n}\}\subset\mathcal{A},\{B_{n}\}\subset\mathcal{B}$ が存在して，$M\in\sigma[\{A_{n}\times B_{n}\}].$
証明
$\mathcal{G}\subset\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}$ を，以下を満たす集合 $M\in\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}$ 全体とする．
ある高々可算な $\{A_{n}\}\subset\mathcal{A},\{B_{n}\}\subset\mathcal{B}$ が存在して，$M\in\sigma[\{A_{n}\times B_{n}\}]$．
$\{A\times B\mid A\in\mathcal{A},B\in\mathcal{B}\}\subset\mathcal{G}$ である．$\mathcal{G}$ が $\sigma$-加法族になることを示せば，$\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}\subset\mathcal{G}$ が成立し，$\mathcal{G}=\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}$ がいえる．$\emptyset,X\times Y\in\mathcal{G}$ は明らか．$\mathcal{G}$ が補集合に閉じることを示す．任意の $M\in\mathcal{G}$ に対し，ある高々可算な $\{A_{n}\}\subset\mathcal{A},\{B_{n}\}\subset\mathcal{B}$ が存在して，$M\in\sigma[\{A_{n}\times B_{n}\}]$ である．$M^{c}\in\sigma[\{A_{n}\times B_{n}\}]$ なので，$M^{c}\in\mathcal{G}$．最後に $\mathcal{G}$ が可算和に閉じることを示す．$\{M_{m}\}\subset\mathcal{G}$ とする．各 $M_{m}$ に対し，ある高々可算な $\{A_{n}^{(m)}\}\subset\mathcal{A},\{B_{n}^{(m)}\}\subset\mathcal{B}$ が存在して，$M_{m}\in\sigma[\{A_{n}^{(m)}\times B_{n}^{(m)}\}]$ である．$\mathcal{A}_{0}=\bigcup_{n,m=1}^{\infty}\{A_{n}^{(m)}\},\mathcal{B}_{0}=\bigcup_{n,m=1}^{\infty}\{B_{n}^{(m)}\}$ とすると，$\mathcal{A}_{0},\mathcal{B}_{0}$ は可算集合で，任意の $m$ に対し，$M_{m}\in\sigma[\bigcup_{m=1}^{\infty}\{A_{n}^{(m)}\times B_{n}^{(m)}\}]$ なので，$\bigcup_{m=1}^{\infty}M_{m}\in\sigma[\bigcup_{m=1}^{\infty}\{A_{n}^{(m)}\times B_{n}^{(m)}\}]$．よって，$\bigcup_{m=1}^{\infty}M_{m}\in\mathcal{G}$．以上より，$\mathcal{G}$ は $\sigma$-加法族である（証明終わり）．
補題2
$X$ は集合，$(Y,\sigma[\mathcal{G}])$ は可測空間，$T:X\to Y$ とする．$T^{-1}(\sigma[\mathcal{G}])=\sigma[T^{-1}(\mathcal{G})].$ すなわち，$\sigma[T]$ の生成系は $T^{-1}(\mathcal{G}).$
証明
$T^{-1}(\mathcal{G})\subset T^{-1}(\sigma[\mathcal{G}])$ と $\sigma[T^{-1}(\mathcal{G})]$ の最小性から，$\sigma[T^{-1}(\mathcal{G})]\subset T^{-1}[\sigma[\mathcal{G}]].$ $T^{-1}[\sigma[\mathcal{G}]]\subset\sigma[T^{-1}(\mathcal{G})]$ を示す．$T$ は $\sigma[T^{-1}(\mathcal{G})]/\sigma[\mathcal{G}]$-可測．$\sigma[T]=T^{-1}(\sigma[\mathcal{G}])$ は $T$ を可測にする最小の $\sigma$-加法族なので，$T^{-1}[\sigma[\mathcal{G}]]\subset\sigma[T^{-1}(\mathcal{G})]$ が成り立つ（証明終わり）．
Doob-Dynkin の補題
集合 $X$ から可測空間 $(Y,\mathcal{A})$ への写像 $T:X\to Y$ によって，$X$ 上の $\sigma$-加法族を $\sigma[T]:=\{T^{-1}(S)\mid S\in\mathcal{Y}\}$ で定める．このとき，$f:X\to[0,1]$ が $\sigma(T)/\mathcal{B}([0,1])$-可測であることは，ある $\mathcal{A}/\mathcal{B}([0,1])$-可測関数 $g:Y\to[0,1]$ が存在して，$f=g\circ T$ と表せることと同値．
以下の定理は，Bogachev (2007) Theorem 6.6.8 と Theorem 1.10.5 から従います．
定理1
$X$ は Suslin 空間，$\mu$ は $(X,\mathcal{B}(X))$ 上の測度とする．任意の Suslin 集合 $S\subset X$ は，$S\in\mathcal{B}(X)_{\mu}$ を満たす．
Bogachev (2007) Proposition 2.1.11
$(X,\mathcal{A},\mu)$ は測度空間，$(Y,\mathcal{B})$ は可測空間とする．任意の $\mu$-可測な $f:X\to Y$ に対し，ある $M\in\mathcal{A}$ と $\mathcal{A}/\mathcal{B}$-可測な $g:X\to Y$ が存在し，$M$ 上 $f=g$ かつ $\mu(X\backslash M)=0.$
命題2
$X$ は位相空間，$Y$ は Hausdorff 空間とする．連続写像 $f:X\to Y$ のグラフ $\Gamma_{f}:=\{(x,y)\mid y=f(x)\}$ は閉集合．
証明
$(p,q)\in (X\times Y)\backslash\Gamma_{f}$ とする．このとき，$q\neq f(p)$ である．したがって，$q$ と $f(p)$ の開近傍 $V_{q},V_{f(p)}\in\mathcal{O}(Y)$ で，$V_{q}\cap V_{f(p)}=\emptyset$ となるものが存在．次に，$(x,y)\in f^{-1}(V_{f(p)})\times V_{q}\in\mathcal{O}(X\times Y)$ をとると，$f(x)\in V_{f(p)},y\in V_{q}$ なので，$y\neq f(x)$ である．よって，$f^{-1}(V_{f(p)})\times V_{q}\subset (X\times Y)\backslash\Gamma_{f}$ で，$(X\times Y)\backslash\Gamma_{f}$ は開集合．以上より，$\Gamma_{f}$ は閉集合（証明終わり）．
Bogachev (2007) Theorem 6.9.3 の証明
Bogachev (2007) Theorem 6.9.3
$(X,d)$ は完備可分距離空間，$(\Omega,\mathcal{B})$ は可測空間，$\Psi:\Omega\to\mathcal{F}(X)\backslash\{\emptyset\}$ とする．ただし，$\mathcal{F}(X)$ は $X$ の閉集合全体． 任意の $U\in\mathcal{O}(X)$ に対し， $$\hat\Psi(U):=\{\omega\mid\Psi(\omega) ∩ U = \emptyset\} ∈ \mathcal{B}$$ を仮定する．このとき，$\mathcal{B}/\mathcal{B}(X)$-可測な $f:\Omega\to X$ で，任意の $\omega\in\Omega$ に対し，$f(\omega)\in\Psi(\omega)$ を満たすものが存在．
証明
$\{x_{n}\}\subset X$ を $X$ の稠密な可算集合とする．いま，$f_{0}:\Omega\to X$ を $f_{0}(\omega):=x_{n(\omega)}$ で定める．ただし， $$ n(\omega):=\min\{n\mid \Psi(\omega)\cap B(x_{n},1)\neq\emptyset\}. $$ $f_{0}$ は $\mathcal{B}/2^{\{x_{n}\}}$-可測で，特に $\mathcal{B}/\mathcal{B}(X)$-可測．実際， $$ f_{0}^{-1}(\{x_{n}\})=\hat\Psi(B(x_{n},1))\backslash\bigcup_{m=1}^{n-1}\hat\Psi(B(x_m,1))\in\mathcal{B}. $$ 次に，$f_{k+1}:\Omega\to X$ を $$ d(f_{k}(\omega),f_{k+1}(\omega))<2^{-k+1},\quad d(f_{k}(\omega),\Psi(\omega))<2^{-k} $$ を満たすように帰納的に定める．$\Omega_{m}:=f_{k}^{-1}(\{x_{m}\})$ とする．$\omega\in\Omega_{m}$ に対しては，$\Psi(\omega)\cap B(x_{m},2^{-k})\neq\emptyset$ である．いま，$f_{k+1}(\omega):\Omega\to X$ を各 $\Omega_{m}$ 上で，$f_{k+1}(\omega):=x_{n^{(k+1)}_{m}(\omega)}$ と定める．ただし， $$ n^{(k+1)}_{m}(\omega):=\min\{n\mid \Psi(\omega)\cap B(x_{m},2^{-k})\cap B(x_{n},2^{-k-1})\neq\emptyset\}. $$ $f_{k+1}$ は $\mathcal{B}/2^{\{x_{n}\}}$-可測で，特に $\mathcal{B}/\mathcal{B}(X)$-可測．実際，$A_{m,n}:=\hat\Psi(B(x_{m},2^{-k})\cap B(x_{n},2^{-k-1}))$ とすると， $$ f_{k+1}^{-1}(\{x_{n}\})=\bigcup_{m=1}^{\infty}\left\{\Omega_{m}\cap\left(A_{m,n}\backslash\bigcup_{l=1}^{n-1}A_{m,l} \right)\right\}\in\mathcal{B.} $$ このように構成した $\{f_{k}\}$ は $d(f_{k}(\omega),f_{k+1}(\omega))<2^{-k+1}$ を満たしている．実際， $$ d(f_{k}(\omega),f_{k+1}(\omega))\leq d(f_{k},\Psi(\omega))+d(f_{k+1},\Psi(\omega))< 2^{-k}+2^{-k-1}<2^{-k+1}. $$ $\{f_{k}\}$ は Cauchy 列なので $X$ の完備性から収束する．$f_{k}\to f$ とすると，$f$ も $\mathcal{B}/\mathcal{B}(X)$-可測で，$d(f_{k}(\omega),\Psi(\omega))\to0$ より，$f(\omega)\in\Psi(\omega)$ である（証明終わり）．
Bogachev (2007) Theorem 6.9.2 の証明
Bogachev (2007) Theorem 6.9.2
$\Omega,X$ は Suslin 空間，$S_{\Omega}$ は $\Omega$ 上の Suslin 集合全体，$\Psi:\Omega\to2^{X}\backslash\{\emptyset\}$ のグラフ $\Gamma_{\Psi}$ は Suslin 集合とする．このとき，$\sigma[S_{\Omega}]/\mathcal{B}(X)$-可測写像 $f:\Omega\to X$ が存在し，任意の $\omega\in\Omega$ に対し，$f(\omega)\in \Psi(\omega)$．
証明
$\Gamma_{\Psi}$ は Suslin 集合なので，ある完備可分距離空間 $Z$ からの連続な全射 $h:Z\to\Gamma_{\Psi}$ が存在．$\pi:\Gamma_{\Psi}\to\Omega,(\omega,x)\mapsto\omega$ とする．$\Phi:\Omega\to 2^{Z}\backslash{\emptyset},\omega\mapsto h^{-1}(\pi^{-1}({\omega}))$ とすると，$\Phi(\omega)$ は $Z$ の（空でない）閉集合．また，
\begin{align*}
\Gamma_{\Phi}
&=\{(\omega,z)\in\Omega\times Z\mid z\in h^{-1}(\pi^{-1}(\{\omega\}))\}\\
&=\{(\omega,z)\in\Omega\times Z\mid \pi(h(z))=\omega\}.
\end{align*}
命題2より，$\Gamma_{\Phi}$ は $\Omega\times Z$ の閉集合．
任意の $U\in\mathcal{O}(Z)$ に対し，$\hat\Phi(U):=\{\omega\mid \Phi(\omega)\cap U\neq\emptyset\}=\Pi_\Omega(\Gamma_{\Phi}\cap(\Omega\times U))$ は Suslin 集合．
Bogachev (2007) Theorem 6.9.3 より，$\sigma[S_\Omega]/\mathcal{B}(Z)$-可測写像 $\eta:X\to Z$ が存在し，任意の $\omega\in\Omega$ に対し，$\eta(\omega)\in\Phi(\omega)$．$\eta(\omega)\in h^{-1}(\pi^{-1}(\{\omega\}))$ より，$\omega=\pi\circ h\circ\eta(\omega)$ が成立．このとき，$f(\omega):=\Pi_{X}\circ h\circ\eta$ とすると，$h\circ\eta(\omega)\in\{\omega\}\times \Psi(\omega)$ より，$f(\omega)\in \Psi(\omega)$ である．また，可測写像の合成なので，$f$ は $\sigma[S_{\Omega}]/\mathcal{B}(X)$-可測（証明終わり）．
Bogachev (2007) Theorem 6.9.13 の証明
定理の主張を再確認しましょう．
Bogachev (2007) Theorem 6.9.13
$(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ は完備確率空間，$X$ は Suslin 空間，$\Psi:\Omega\to2^{X}\backslash\{\emptyset\}$ は $\Gamma_\Psi:=\{(\omega,x)\in\Omega\times X\mid x\in\Psi(\omega)\}\in\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}(X)$ を満たすとする．このとき，$\mathcal{A}/\mathcal{B}(X)$-可測な $f:\Omega\to X$ で，任意の $\omega\in\Omega$ に対し，$f(\omega)\in\Psi(\omega)$ を満たすものが存在．
ここからは今まで積み重ねてきた命題をつかって，この定理を頑張って示します．
準備
まず，次の命題を示します．
命題3
$\Omega\subset[0,1],(\Omega,\mathcal{B}(\Omega)_{\nu},\nu)$ は完備確率空間，$X$ は Suslin 空間，$\Psi:\Omega\to2^{X}\backslash\{\emptyset\}$ は$\Gamma_{\Psi}\in\mathcal{B}(\Omega)\otimes\mathcal{B}(X)$ を満たすとする．このとき，$\mathcal{B}(\Omega)_{\nu}/\mathcal{B}(X)$-可測な $f:\Omega\to X$ で，任意の $\omega\in \Omega$ に対し，$f(\omega)\in\Psi(\omega)$ を満たすものが存在．
証明
仮定より，ある $D\in\mathcal{B}([0,1])\otimes\mathcal{B}(X)$ が存在し，$\Gamma_{\Psi}=D\cap(\Omega\times X)$．ここで，$S:=\Pi_{[0,1]}(D)$ は Suslin 集合で，$\Pi_{\Omega}(\Gamma_{\Psi})=\Omega$ より，$\Omega\subset S$． $\Gamma_{\Psi}=D\cap(S\times X)$ は Suslin 集合である．$\Omega$ 上の Suslin集合 全体を $S_{\Omega}$ とすると， Bogachev (2007) Theorem 6.9.2 より，ある $\sigma[S_{\Omega}]/\mathcal{B}(X)$-可測な $f:\Omega\to X$ で，$f(\omega)\in\Psi(\omega)$ を満たすものが存在．さらに，定理1より，$S_{\Omega}\subset\mathcal{B}(\Omega)_{\nu}$ が成立．すなわち，$f$ は $\mathcal{B}(\Omega)_{\nu}/\mathcal{B}(X)$-可測（証明終わり）．
ステップ1
補題1より，高々可算な $\{A_{n}\}\subset\mathcal{A}$ と $\{B_{n}\} \subset \mathcal{B}(X)$ が存在し， $\Gamma_{\Psi}\in\sigma(\{A_{n} \times B_{n}\})$．特に，$\mathcal{A}_{0}:=\sigma[\{A_{n}\}]$ とすると，$\Gamma_{\Psi}\in\mathcal{A}_{0}\otimes\mathcal{B}(X)$．
Bogachev (2007) Theorem 6.5.5 より，$\mathcal{A}_{0}/\mathcal{B}([0,1])$-可測関数 $h : \Omega \to [0, 1]$ で $\mathcal{A}_{0} =\{h^{−1}(B) \mid B \in \mathcal{B}([0, 1])\}$ を満たすものが存在．
$E:=h(\Omega)$ とすると，$h:\mathcal{A}_{0}\to\mathcal{B}(E),h^{-1}(B)\mapsto B\cap E$ は全単射となることを示す．
全射であることは，任意の $\mathcal{B}(E)$ の元は，ある $B\in\mathcal{B}([0,1])$ を用いて，$B\cap E$ とかけることから従う．単射であることを示す．$A,A'\in\mathcal{A}_{0}$ に対し，$h(A)=h(A')$ とする．このとき，ある $B,B'\in\mathcal{B}([0,1])$ が存在し，$A=h^{-1}(B),A'=h^{-1}(B')$ である．$B\cap E=h(h^{-1}(B))=h(h^{-1}(B'))=B'\cap E$ より，$A=h^{-1}(B\cap E)=h^{-1}(B'\cap E)=A'$．
ステップ2
ステップ1の結果から，$g:\Omega\times X\to E\times X,(\omega,x)\mapsto(h(\omega),x)$ は，写像 $g:\mathcal{A}_{0} \otimes \mathcal{B}(X)\to \mathcal{B}(E) \otimes \mathcal{B}(X)$ を誘導する．特に， $g(\Gamma_{\Psi}) \in \mathcal{B}(E)\otimes\mathcal{B}(X)$ である．
$g(\Gamma_\Psi)$ は $\Phi :E\to 2^{X}\backslash\{\emptyset\} ,y \mapsto \bigcup_{\omega\in h^{−1}(y)}\Psi(\omega)$ のグラフになっている．
$\nu := \mu \circ h^{−1}$ とすると，$\Phi$ と完備確率空間 $(E, \mathcal{B}(E)_{\nu}, \nu)$ に対し，命題3より，$\mathcal{B}(E)_{\nu}/\mathcal{B}(X)$-可測な $f_{1} : E → X$ で，任意の $y\in E$ に対し，$f_{1} (y) ∈ \Phi(y)$ を満たすものが存在する．
Bogachev (2007) Proposition 2.1.11 より，$\nu(B)=1$ を満たす $B\in\mathcal{B}(E)$ で，$f_{1}$ を $\mathcal{B}(B)/\mathcal{B}(X)$-可測にするものが存在．このとき，$h^{−1}(B) \in \mathcal{A}_0,\mu(h^{−1}(B)) = 1$ である．
いま，$f:\Omega\to X$ を各 $\omega\in h^{-1}(B)$ については，$f(\omega) := f_{1}(h(\omega))$ で定め，その他の $\omega\in\Omega\backslash h^{-1}(B)$ については，$f(\omega) \in \Psi(\omega)$ を満たすように任意に定める．
$f$ は $\mathcal{A}/\mathcal{B}(X)$-可測となることを示す．
任意の $B'\in\mathcal{B}(X)$ に対し，$C:=(f_{1}\circ h)^{-1}(B')\cap h^{-1}(B)\in\mathcal{A}_{0}\subset\mathcal{A}$ である．また，$\Omega\backslash h^{-1}(B)$ は零集合なので，$D:=f^{-1}(B')\cap(\Omega\backslash h^{-1}(B))\in\mathcal{A}$．したがって，$f^{-1}(B')=C\cup D\in\mathcal{A}$．
ステップ3
$1_{\Gamma_{\Psi}}(\omega,x)$ がある $\mathcal{B}([0,1]\times X)/\mathcal{B}[0,1]$-可測な $\varphi$ によって，$1_{\Gamma_{\Psi}}(\omega,x)=\varphi(h(\omega),x)$ と表せることを示す．
$\Gamma_\Psi\in\mathcal{A}_{0}\otimes\mathcal{B}(X)$ より，$1_{\Gamma_{\Psi}}(\omega,x)$ は $(\mathcal{A}_{0}\otimes\mathcal{B}(X))/\mathcal{B}([0,1])$-可測．$\sigma[g]=\mathcal{A}_{0}\otimes\mathcal{B}(X)$ を示せば，Doob-Dynkin の補題から，そのような $\varphi$ の存在がいえる．
$\sigma[g]$ と $\mathcal{A}_{0}\otimes\mathcal{B}(X)$ の生成系が一致するならば，$\sigma(g)=\mathcal{A}_{0}\otimes\mathcal{B}(X)$ である．$\sigma[g]$ の生成系は $g^{-1}(\{B\times C\mid B\in\mathcal{B}([0,1]),C\in\mathcal{B}(X)\})$ である．ここで， $$ g^{-1}(B\times C)=\{(\omega,x)\in\Omega\times X\mid h(\omega)\in B,x\in C\}=h^{-1}(B)\times C $$ である．$\{h^{-1}(B)\times C\mid B\in\mathcal{B}([0,1]),C\in\mathcal{B}(X)\}$ は $\mathcal{A}_{0}\otimes\mathcal{B}(X)$ の生成系．よって，両者の生成系は一致する．したがって，$\sigma[g]=\mathcal{A}_{0}\otimes\mathcal{B}(X)$．
ステップ4
$1_{\Gamma_{\Psi}}(\omega,x)=\varphi(h(\omega),x)$ より，$h(\omega)=h(\omega')$ ならば， $$ 1_{\Gamma_\Psi}(\omega,x)=\varphi(h(\omega),x)=\varphi(h(\omega'),x)=1_{\Gamma_\Psi}(\omega',x),$$ すなわち $\Psi(\omega)=\Psi(\omega')$ である． 以上より，任意の $\omega\in\Omega$ に対し，$f(\omega) \in \Psi(\omega)$ が成立（証明終わり）．
参考文献
Bogachev, V. I. 2007. Measure Theory. Springer.
付録
補題 A.1
$(\mathfrak{X},\mathcal{O})$ は可分な位相空間，$f:\mathfrak{X}\to\overline{\mathbb{R}}$ は $G\in\mathcal{O}$ 上で連続とする．このとき，$\sup_{x\in G}f(x)=\sup_{x\in G\cap D}f(x)$．ただし，$D\subset\mathfrak{X}$ は稠密な可算集合．
証明
$\sup_{x\in G}f(x)\geq\sup_{x\in G\cap D}f(x)$ は明らか．逆を示す． $M=\sup_{x\in G}f(x)$ とすると，任意の $\varepsilon>0$ に対し，ある $x_\varepsilon\in G$ が存在し，$f(x_\varepsilon)+\varepsilon>M$． $f$ の連続性から，$x_\varepsilon$ のある開近傍 $U_{x_\varepsilon}$ が存在し，任意の $x\in U_{x_\varepsilon}$ に対し，$\|f(x_\varepsilon)-f(x)\|<\varepsilon$ である． $D$ の稠密性から，ある $d\in G\cap D$ が存在し，$d\in U_{x_\varepsilon}$ である． したがって，$-\varepsilon<f(x_\varepsilon)-f(d)<\varepsilon$ が成立し， $$ \sup_{x\in G\cap D}f(x)\geq f(d)>f(x_\varepsilon)>M-2\varepsilon. $$ $\varepsilon$ は任意なので，$\sup_{x\in G\cap D}f(x)\geq M$ である．以上より，$\sup_{x\in G}f(x)=\sup_{x\in G\cap D}f(x)$ である（証明終わり）．
補題A.1と可算個の可測関数の上限が可測になることから以下の補題が従います．
補題 A.2
可分な位相空間 $T$ の開集合 $U$ の元で添え字づけられた可測関数列 $\{f_t:\mathfrak{X}\to\overline{\mathbb{R}}\}_{t\in U}$ は任意の $x\in\mathfrak{X}$ に対し，$t\mapsto f_{t}(x)$ が連続であるとする．このとき，$x\mapsto\sup_{t\in U}f_{t}(x)$ は可測．
補題 A.3
$\Theta$ は Suslin 空間，$(X,\mathcal{A})$ は可測空間，$f:X\times\Theta\to\overline{\mathbb{R}}$ は可測とする．このとき，$x\mapsto\sup_{\theta\in\Theta}f(x,\theta)$ は可測．
証明
仮定より，ある完備可分距離空間 $Z$ から $\Theta$ への全射 $h$ が存在．
$$
\sup_{\theta\in\Theta}f(x,\theta)=\sup_{z\in Z}f(x,h(z))
$$
である．補題A.2より，右辺は（したがって左辺も）可測（証明終わり）．