ばらつきを示す指標(分散や標準偏差)

問題提起
- ばらつき(分散と標準偏差)とは何か。
- 何に使うのか、どういうときに使うのか。
ばらつきの説明
- 統計学では、個々のデータの平均からの差をばらつきの指標に用いる。
ばらつきの図解
- 下記の図1は、10個のデータをプロットしたもの。
  - 横軸: データ番号
  - 縦軸: データの値
  - 図1
- 下記の図2は、図1に平均と平均と個々のデータのと差を書き入れたもの。
  - 茶色い線が、個々のデータと平均との差。これによってデータのばらつきを表現する。
  - 図2
定義式
- 分散
  - 分散の定義式
    - $s^2=\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})}{n}$
  - $(x_i-\bar{x})$ の部分が、個々のデータと平均との差(図2の赤線の部分)。それを二乗して総和を取り、データ数で割ったものが分散。
  - 特徴
    - 分散は、平均との差を二乗したものからできる数値なので、スケールがデータと比べてとても大きい。
- 標準偏差
  - 定義式
    - $s^2=\sqrt{\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})}{n}}$
  - 分散のルート(平方根)を取ったもの。
  - 特徴
    - 標準偏差のスケールは、データと同じになる。
    - 例えばデータが正規分布に従う場合、平均値プラスマイナス標準偏差の範囲に、データ全体の68%が入る。
- その他
  - 分母をnではなく(n-1)として分散や標準偏差を計算する場合もある。
    - 不偏分散、標準偏差の不偏推定量などという。
    - 少ないデータから全体の傾向を推測する推測統計学では、これも使用する。
    - 今回はデータのばらつきという概念を伝えることに集中するので、それには触れない。
分散や標準偏差の使いどころ
- 管理の際の指標とする。
  - ばらつきの少ないデータ: いつも同じような値なので、予測や管理が容易。
  - ばらつきの多いデータ: 予測がつかないので管理が難しい。
分散や標準偏差の使い方の例(生産管理における例)
- 下に3つの製品(製品A, B, C)の月ごとの発注量のグラフを書く。
- ばらつきが大きい製品は、管理方法をどうするべきだろうか？
製品Aの発注量のグラフ
- 図3
- グラフの説明
  - 横軸に月、縦軸に月ごとの製品の発注量をとる。
- 特徴
  - 毎月大体同じ量の発注量がある。(データのばらつきが小さい)
  - 標準偏差 = 6.44
- 在庫の管理方法
  - 手間のかからない機械的な管理方法でよい。
  - 在庫が一定の水準を下回ったら、毎回同じ量だけ発注するなど。
製品Bの発注量(売れる季節がある)
製品Cの発注量
- 図5
- 特徴
  - 発注量がてんでばらばらで傾向が読めない
  - 標準偏差 = 33.22
- 在庫の管理方法
  - この製品独自の管理方法を考え、実行する。
    - 各種データとの相関を見たり、売り先に尋ねたりして、売れ行きの要因を調査する。
    - 調査でわかったことを、在庫量や発注タイミングに反映させる。
    - 多めの在庫をおいて対処する。
おまけ(変動係数)
- 変動係数とは何か？
  - 標準偏差を平均で割ったもの。
  - スケールの異なる値を比べるときに使う。
    - 例: クジラとサバのサイズのばらつきを比べる
- 上記例の変動係数
  - 製品A: 0.064
  - 製品B: 0.314
  - 製品C: 0.312
- 定義式
  - $C.V.=\displaystyle \frac{s}{\bar{x}}$
    - $C.V.$ :Coefficient of Variation