ばらつきを示す指標(分散や標準偏差)
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問題提起
- ばらつき(分散と標準偏差)とは何か。
- 何に使うのか、どういうときに使うのか。
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ばらつきの説明
- 統計学では、個々のデータの平均からの差をばらつきの指標に用いる。
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ばらつきの図解
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下記の図1は、10個のデータをプロットしたもの。
- 横軸: データ番号
- 縦軸: データの値
- 図1
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下記の図2は、図1に平均と平均と個々のデータのと差を書き入れたもの。
- 茶色い線が、個々のデータと平均との差。これによってデータのばらつきを表現する。
- 図2
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定義式
- 分散
- 分散の定義式
- $s^2=\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})}{n}$
- $(x_i-\bar{x})$ の部分が、個々のデータと平均との差(図2の赤線の部分)。それを二乗して総和を取り、データ数で割ったものが分散。
- 特徴
- 分散は、平均との差を二乗したものからできる数値なので、スケールがデータと比べてとても大きい。
- 分散の定義式
- 標準偏差
- 定義式
- $s^2=\sqrt{\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})}{n}}$
- 分散のルート(平方根)を取ったもの。
- 特徴
- 標準偏差のスケールは、データと同じになる。
- 例えばデータが正規分布に従う場合、平均値プラスマイナス標準偏差の範囲に、データ全体の68%が入る。
- 定義式
- その他
- 分母をnではなく(n-1)として分散や標準偏差を計算する場合もある。
- 不偏分散、標準偏差の不偏推定量などという。
- 少ないデータから全体の傾向を推測する推測統計学では、これも使用する。
- 今回は
データのばらつきという概念を伝えることに集中するので、それには触れない。
- 分母をnではなく(n-1)として分散や標準偏差を計算する場合もある。
- 分散
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分散や標準偏差の使いどころ
- 管理の際の指標とする。
- ばらつきの少ないデータ: いつも同じような値なので、予測や管理が容易。
- ばらつきの多いデータ: 予測がつかないので管理が難しい。
- 管理の際の指標とする。
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分散や標準偏差の使い方の例(生産管理における例)
- 下に3つの製品(製品A, B, C)の月ごとの発注量のグラフを書く。
- ばらつきが大きい製品は、管理方法をどうするべきだろうか？
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製品Aの発注量のグラフ
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図3
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グラフの説明
- 横軸に月、縦軸に月ごとの製品の発注量をとる。
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特徴
- 毎月大体同じ量の発注量がある。(データのばらつきが小さい)
- 標準偏差 = 6.44
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在庫の管理方法
- 手間のかからない機械的な管理方法でよい。
- 在庫が一定の水準を下回ったら、毎回同じ量だけ発注するなど。
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製品Bの発注量(売れる季節がある)
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図4
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特徴
- 時期に発注量が左右される。(年度末、年末に増える傾向がある)
- 標準偏差 = 37.12
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在庫の管理方法
- この製品独自の管理方法を考え、実行する。
- 売れる季節は在庫を多く置いたり、その季節の直前に在庫の数を調べて必要な在庫を予想して発注するなど。
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製品Cの発注量
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図5
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特徴
- 発注量がてんでばらばらで傾向が読めない
- 標準偏差 = 33.22
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在庫の管理方法
- この製品独自の管理方法を考え、実行する。
- 各種データとの相関を見たり、売り先に尋ねたりして、売れ行きの要因を調査する。
- 調査でわかったことを、在庫量や発注タイミングに反映させる。
- 多めの在庫をおいて対処する。
- この製品独自の管理方法を考え、実行する。
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おまけ(変動係数)
- 変動係数とは何か？
- 標準偏差を平均で割ったもの。
- スケールの異なる値を比べるときに使う。
- 例: クジラとサバのサイズのばらつきを比べる
- 上記例の変動係数
- 製品A: 0.064
- 製品B: 0.314
- 製品C: 0.312
- 定義式
- $C.V.=\displaystyle \frac{s}{\bar{x}}$
- $C.V.$ :Coefficient of Variation
- $C.V.=\displaystyle \frac{s}{\bar{x}}$
- 変動係数とは何か？