米田埋め込みは単位的プロ函手

米田埋め込み

米田埋め込みを

\begin{align}
\Delta^\mathbb{C}_{(a)}&:=\text{Hom}_\mathbb{C}(-,a)\\
\Delta^{(a)}_\mathbb{C}&:=\text{Hom}_\mathbb{C}(a,-)
\end{align}

と表す．

Kan 拡張

Kan 拡張とエンド，コエンドには次の関係がある．

\begin{align}
\text{Lan}_EF_{(d)}&=\overline{\bigoplus_{c\in\mathbb{C}}}\Delta_{(d)}^{E_{(c)}}F_{(c)} \\
\text{Ran}_EF_{(d)}&=\overline{\bigotimes_{c\in\mathbb{C}}}{\Delta^{(d)}_{E_{(c)}}}^{F_{(c)}} \\
\end{align}

米田の補題

ここで，

F_{(d)}= \text{Ran}_{id}F_{(d)}

であるので，

\begin{align}
F_{(d)} &= \text{Ran}_{id}F_{(d)} \\
&= \overline{\bigotimes_{c\in\mathbb{C}}}{\Delta^{(d)}_{id_{(c)}}}^{F_{(c)}} \\
&= \overline{\bigotimes_{c\in\mathbb{C}}}\text{Hom}\left({F_{(c)}},\Delta^{(d)}_{(c)}\right) \\
&= \text{Nat}(F_\mathbb{C},\Delta_\mathbb{C}^{(d)})
\end{align}

つまり，米田の補題を

F_{(d)} = \overline{\bigotimes_{c\in\mathbb{C}}}{\Delta^{(d)}_{(c)}}^{F_{(c)}} \\

このような形式で表すことができる．
また，双対的に余米田の補題を

\begin{align}
F_{(d)}&=\text{Lan}_{id}F_{(d)}\\
&=\overline{\bigoplus_{c\in\mathbb{C}}}\Delta_{(d)}^{id_{(c)}}F_{(c)}\\
&=\overline{\bigoplus_{c\in\mathbb{C}}}\Delta_{(d)}^{(c)}F_{(c)}\\
\end{align}

と表す．
余米田の補題はプロ函手の合成として考えると

F_{(d)}=\overline{\bigoplus_{c\in\mathbb{C}}}\Delta_{(d)}^{(c)}F_{(c)}=\Delta_{(d)}^\mathbb{C}F_\mathbb{C}