-(-a)=a の証明

$-(-a)=a$ を示すにはいくつかの前準備が必要である．

任意の$a$に対して, $a$の逆元はただ一つである.

$a$の逆元を$b,c$とする．

b + a = 0, \quad c + a = 0

とすると，

b = b + 0 = b + (a + c) = (b + a) + c = 0 + c = c

である．

(-1)a = -a

(-1)a + a = (-1)a + 1a = ((-1)+1)a = 0a = 0

逆元の一意性より, $(-1)a = -a$である.

今回の目標

-(-a) = a

-(-a) + (-a) = -(-a) + (-a) = (-1)(-a) + (-1)a = (-1)(-a + a) = (-1)0 = 0

逆元の一意性より, $-(-a) = a$である.