電子回路の小ネタです．D/A変換器の基本方式の一つである，R-2Rラダー回路について．
これは，$n$ビット2進数値$(X_{n-1}X_{n-2}\cdots X_{0})_{\mathrm{B}}$に対応する入力電圧値列$\left\{v_{n-1}, v_{n-2}, \cdots v_{0}\right\}$を，アナログ電圧$v$に変換し出力する回路です．一般的に$v_{k}$（$k=0,\cdots,n-1$）は，$X_{k}$が0ならばL（低電圧），1ならばH（高電圧）をとります．Lは大抵0Vです．Hは回路仕様によって変わりますが，5Vであることが多いのではと思います．
抵抗値$2R$である抵抗器が，抵抗値$R$である抵抗器によってはしごのように並列につなげられるので，ラダー（はしご）回路と呼ばれます．一番下，接地している直前の抵抗器だけ，抵抗値が$R$でなく$2R$になっていることにご注意下さい．
この回路の出力電圧$v$が確かに2進数を変換したものになっていることを数学的に証明しよう，というのが本記事の趣旨です．
よく知られているように，$n$ビットの2進数値$(X_{n-1}X_{n-2}\cdots X_{0})_{\mathrm{B}}$は，次式で10進数値$Y$に変換されます．
Y=\sum_{k=0}^{n-1}X_{k}\cdot 2^{k}
ですから，上記回路の期待される出力は，次のようになるはずです．
v=A\sum_{k=0}^{n-1}v_{k}\cdot 2^{k}
ただし，$A$は適当な比例係数です．これを踏まえて，回路の仕組みを見ていきましょう．
上の部分回路に着目します．電圧$v_{k}$が入力されて，抵抗値$2R$の抵抗器を電流$i_{k}$が流れ，接点の電位が$V_{k}$となります．これに上から電流$I_{k+1}$が合流し，抵抗値$R$の抵抗器を電流$I_{k}$が流れて，一段下の接点の電位$V_{k-1}$となります．
これらの間には次式が成り立ちます．
\displaylines{
V_{k}=v_{k}-2Ri_{k}
\\
I_{k}=I_{k+1}+i_{k}
\\
V_{k}-RI_{k}=V_{k-1}
}
ただし，$k=0$のときは最後の抵抗値は$2R$で，グラウンド電位$0$Vに落ちますので，次式が成り立ちます．
\displaylines{
V_{0}=v_{0}-2Ri_{0}
\\
I_{0}=I_{1}+i_{0}
\\
V_{0}-2RI_{0}=0
}
これらから$i_{0}$および$I_{0}$を消去すれば，次式を得ます．
V_{0}=\frac{1}{2}v_{0}+RI_{1}
これを$k=1$の部分回路に適用し，$i_{1}$および$I_{1}$を消去すれば，次式を得ます．
V_{1}=\frac{1}{2^2}v_{0}+\frac{1}{2}v_{1}+RI_{2}
カンの良い方ならば，「もしかして
V_{k}=\frac{1}{2^{k+1}}v_{0}+\frac{1}{2^{k}}v_{1}+\cdots+\frac{1}{2}v_{k}+RI_{k+1}
が成り立つのでは？」と気づきます（カンが良くなくても，同じ計算を$k=4$くらいまで試してみたら気づけると思います）．
いずれにしても，これを仮定しまして，入力電圧$v_{k+1}$に対する部分回路に着目し$i_{k+1}$および$I_{k+1}$を消去すれば，次式を得ます．
V_{k+1}=\frac{1}{2^{k+2}}v_{0}+\frac{1}{2^{k+1}}v_{1}+\cdots+\frac{1}{2^2}v_{k}+\frac{1}{2}v_{k+1}+RI_{k+2}
つまり，同じ式が$k+1$でも成り立つと分かります．よって，帰納法によりこれは正しいと証明できました．
さて，$k=n-1$においてはもう上に回路がありませんので，$I_{n}=0$です．全体回路の出力電圧は$v=V_{n-1}$ですから，次式が言えます．
\displaylines{
v=V_{n-1}=\frac{1}{2^{n}}v_{0}+\frac{1}{2^{n-1}}v_{1}+\cdots+\frac{1}{2}v_{n-1}
\\
=\frac{1}{2^{n}}\left(v_{0}+2v_{1}+\cdots+2^{n-1}v_{n-1}\right)
\\
=\frac{1}{2^{n}}\sum_{k=0}^{n-1}v_{k}\cdot 2^{k}
}
これはまさしく，計算前に期待した結果であり，そのときに$A$とおいた比例係数は$1/2^{n}$であることも分かりました．
実際にはR-2Rラダー回路だけではD/A変換できず，出力電圧を平滑化する回路が必要ですが，それは通常のローパスフィルタを使えば良いです．