試験直前の最終チェックとして穴埋めを用意しました。一部前提などを省略して記述している部分がありますが、ご了承ください。
1
商品Aと商品Bの年間購入数量が次の表のようであるとする。
| 200X年 | 200Y年 | |||
|---|---|---|---|---|
| 購入数量 | 平均価格 | 購入数量 | 平均価格 | |
| 商品A | $q_{XA}$ | $p_{XA}$ | $q_{YA}$ | $p_{YA}$ |
| 商品B | $q_{XB}$ | $p_{XB}$ | $q_{YB}$ | $p_{YB}$ |
200X年を基準年(指数を100とする)として、商品Aと商品Bの２種類の価格から、200Y年のラスパイレス指数$P_{L(0,t)}$および、パーシェ指数$P_{P(0,t)}$を求めると、それぞれ、
$P_{L(0,t)}=$(ア)
$P_{P(0,t)}=$(イ)
となる。このとき、フィッシャー指数$P_{F(0,t)}$は、
$P_{F(0,t)}=$(ウ)
となる。
2
回帰係数を$\alpha,\beta$とすると、回帰直線は(ア) となる。
$y_i$を観測値の実際の値、$\hat{y}_i$を回帰直線を用いて予測された値とすると、
残差は$e_i=$ (ア)
残差平方和は$S(\hat{\alpha},\hat{\beta})=$(イ) =(ウ) =(エ)
となる。残差平方和$S(\hat{\alpha},\hat{\beta})$を最小にするような$\hat{\alpha},\hat{\beta}$を求めると、正規方程式は
(オ) ($\hat{\alpha}$で偏微分したものが$0$)
(カ) ($\hat{\beta}$で偏微分したものが$0$)
3
確率密度関数を$f(x)$とするとき、
期待値 $E[X]=$ (ア)
分散 $V[X]=$ (イ)
分布関数(累積分布関数)は、確率密度関数$f(x)$を用いて、
$F(x)=P(X\leq x)=$ (ウ)
と表される。この時、中央値は(エ) として、$c$について解けば求められる。
4
以下を期待値記号$E$,確率変数$X,Y$や定義されている記号を用いて表せ。
分散 $V[X]=$ (ア)
共分散 $Cov[X,Y] =$ (イ)
相関係数 $\rho_{xy}=$ (ウ)
$V[aX+bY]=$ (エ)
$X,Y$が独立のの場合、$V[aX+bY]=$ (オ)
5
ベルヌーイ分布：
期待値 $E[X]=$ (ア) , 分散 $V[X]=$ (イ)
二項分布：
確率密度分布 $f(x)=$ (ウ) ,
期待値 $E[X]=$ (エ) , 分散 $V[X]=$ (オ)
ポアソン分布：
確率密度分布 $f(x)=$ (カ) ,
期待値 $E[X]=$ (キ) , 分散 $V[X]=$ (ク)
幾何分布
確率密度分布 $f(x)=$ (ケ) ,
期待値 $E[X]=$ (コ) , 分散 $V[X]=$ (サ)
6
$X$の期待値$\mu$、分散$\sigma^2$のとき、正規分布で標準化すると$Z=$(ア) となる。
確率変数 $Z_1, Z_2,\cdots Z_n$が互いに独立に標準正規分布$N(0,1)$に従うとき、
W = Z_1^2 + Z_2^2 +\cdots Z_n^2
は自由度(イ) の(ウ) 分布に従う。また、標準正規分布$N(0,1)$に従う確率変数$Z$が$W$と独立であれば
\frac{Z}{\sqrt{W/n}}
は自由度(エ) の(オ) 分布に従う。さらに、確率変数$W_1,W_2$が互いに独立に自由度$m_1,m_2$の(ウ) 分布に従とき、
\frac{W_1/m_1}{W_2/m_2}
は自由度$(m_1,m_2)$の(カ) 分布に従う。
7
ある母数$\theta$の推定量$\hat{\theta}$が任意の$\theta$の値に対して、$\hat{\theta}$が$\theta$に確率収束するとき、$\hat{\theta}$は(ア) 推定量である。$\hat{\theta}$の期待値$E[\hat{\theta}]=\theta$となるとき、$\hat{\theta}$は(ア) 推定量である。一致推定量が不偏推定量となるとは必ずしも限らない。
8
$x_1,x_2,\cdots,x_n$が無作為標本の場合、
標本分散 $s^2=$(ア)
不偏分散 $\hat{\sigma}^2=$(イ)
9
不偏分散を$\hat{\sigma}^2$とする。
母平均$\mu$の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、標本平均を$\bar{x}$として、
母分散が既知のとき、(ア) $\leq \mu \leq$ (イ)
母分散が未知のとき、(ウ) $\leq \mu \leq$ (エ)
母分散$\sigma^2$の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、
(オ) $\leq \sigma^2 \leq$ (カ)
母比率$p$の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、中心極限定理を利用して近似的に、
(キ) $\leq p \leq$ (ク)
10
２標本問題で、母平均の差($\delta$)の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、標本平均の差を$d=\bar{x}-\bar{y}$として、
母分散が既知のとき、(ア) $\leq \delta \leq$ (イ)
母分散が未知のとき、
プールした分散 $\hat{\sigma}^2=$ (ウ) = (エ) （(ウ)は不偏分散$\hat{\sigma}_1^2, \hat{\sigma}_2^2$を用いて、(エ)は偏差平方和を用いて表せ)
を用いて、(オ) $\leq \delta \leq$ (カ)
母分散の比($\sigma_y^2/\sigma_x^2$)の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、$\hat{\sigma}_x^2,\hat{\sigma}_y^2$を用いて、
(キ) $\leq \frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2} \leq$ (ク)
あるいは、
(ケ) $\leq \frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2} \leq$ (コ) （$1-\frac{\alpha}{2}$を用いずに表せ)
母比率の差($p_1-p_2$)の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、$\hat{p}_1,\hat{p}_2,n_1,n_2$を用いて、
(ケ) $\leq p_1-p_2 \leq$ (コ)
11
| 判断 | $H_0$が正しい | $H_1$が正しい |
|---|---|---|
| $H_0$を棄却 | (ア) 過誤 | 正しい判断((イ) )力 |
| $H_0$を受容 | 正しい判断 | (ウ) 過誤 |
第１種過誤の確率とは、(エ) の下で、(オ) を棄却する誤りであり、
第2種過誤の確率とは、(カ) の下で、(キ) を受容する誤りである。
12
母平均$\mu$の統計的仮設検定に関して、母分散が既知の値（$\sigma^2$)の場合、
帰無仮説 $H_0:\mu=\mu_0$
対立仮説 $H_1:\mu\neq\mu_0$
とするとき、検定値は(ア) であり、有意水準$\alpha$%の場合の棄却域は(イ) である。
一方、
帰無仮説 $H_0:\mu=\mu_0$
対立仮説 $H_1:\mu > \mu_0$
とするとき、検定値は(ウ) であり、有意水準$\alpha$%の場合の棄却域は(エ) である。
母平均$\mu$の統計的仮設検定に関して、母分散が未知の場合、不偏分散$\hat{\sigma}$を用いて(オ) 検定を行う。
帰無仮説 $H_0:\mu=\mu_0$
対立仮説 $H_1:\mu\neq\mu_0$
とするとき、検定値は(カ) であり、有意水準$\alpha$%の場合の棄却域は(キ) である。
一方、
帰無仮説 $H_0:\mu=\mu_0$
対立仮説 $H_1:\mu > \mu_0$
とするとき、検定値は(ク) であり、有意水準$\alpha$%の場合の棄却域は(ケ) である。
母分散の比の統計的仮説検定に関して、
帰無仮説 $H_0:\sigma^2=\sigma_0^2$
対立仮説 $H_1:\sigma^2 \neq \sigma_0^2$
のとき、不偏分散$\hat{\sigma}$を用いて検定値は、(コ) であり、有意水準$\alpha$%の場合の受容域は、(サ) となる（棄却域ではないことに注意せよ）。
母比率に関する統計的仮説検定に関して、
帰無仮説 $H_0:p=p_0$
対立仮説 $H_1:p \neq p_0$
とするとき、標本数を$n$、不偏推定量を$\hat{p}$として、検定値は、(シ) であり、有意水準$\alpha$%の場合の棄却域は(ス) である。
一方、
帰無仮説 $H_0:p=p_0$
対立仮説 $H_1:p > p_0$
とするとき、標本数を$n$、不偏推定量を$\hat{p}$として、検定値は、(セ) であり、有意水準$\alpha$%の場合の棄却域は(ソ) である。
13
一元配置分散分析において、総平方和$S_T$, 水準間平方和$S_A$, 残差平方和$S_e$の関係は、
(ア)
である。$n$を標本数、$a$を水準の個数とすると、総平方和の自由度は(イ) 、水準間平方和の自由度は(ウ) 、残差平方和の自由度は(エ) となる。
水準$j$でのデータの大きさを$n_j$とすると、
$S_T=$(オ)
$S_A=$(カ)
$S_e=$(キ)
である。
F値を$S_A,S_e, n, a$で表すと、
$F=$(ク)
となり、自由度(ケ) のF分布に従う。
14
歪度は分布の(ア) を表し、尖度は(イ) を表す指標である。
正規分布の歪度は(ウ) で、尖度は(エ) である。
歪度は、右に裾が長い場合は、(オ) で、左に裾が長い場合は(カ) である。
尖度は、正規分布より裾が長い場合は、(キ) 、裾が短い場合は、(ク) である。
t分布は、歪度は(ケ) 、尖度は(コ) である。
なお、$k$次モーメントを(サ) と定義するとき、歪度は(シ) , 尖度は(ス) で表される。
回答
1
\begin{align}
&(ア)\frac{p_{YA}q_{XA}+p_{YB}q_{XB}}{p_{XA}q_{XA}+p_{XB}q_{XB}}\\
&(イ)\left(\frac{p_{XA}q_{YA}+p_{XB}q_{YB}}{p_{YA}q_{YA}+p_{YB}q_{YB}}\right)^{-1}\\
&(ウ)\sqrt{P_{L(0,t)}\times P_{P(0,t)}}\\
\end{align}
2
\begin{align}
&(ア)\quad y=\alpha+\beta x\\
&(イ)\quad y_i-\hat{y}_i \quad (ウ) \sum_i^n e_i^2 \quad (エ) \sum_{i=1}^n (y_i-\hat{y}_i)^2 \quad (オ) \sum_{i=1}^n (y_i-(\hat{\alpha}+\hat{\beta}y_i))^2\\
&(カ)\quad n\hat{\alpha}-\sum_{i=1}^n y_i + \hat{\beta}\sum_{i=1}^n x_i = 0\\
&(キ)\quad \hat{\beta}\sum_{i=1}^n x_i^2-\sum_{i=1}^n x_i y_i+\hat{\alpha}\sum_{i=1}^n x_i = 0
\end{align}
3
\begin{align}
&(ア)\quad \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\mathrm{d}x\\
&(イ)\quad \int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)\mathrm{d}x - \left(\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\mathrm{d}x\right)^2\\
&(ウ)\quad \int_{-\infty}^{x}f(u)\mathrm{d}u\\
&(エ)\quad F(c)=\frac{1}{2}\\
\end{align}
4
\begin{align}
&(ア)\quad E[X^2] - E[X]^2\\
&(イ)\quad E[XY] - E[X]E[Y]\\
&(ウ)\quad \frac{Cov[X,Y]}{\sqrt{V[X]V[Y]}}\\
&(エ)\quad a^2V[X] + b^2V[Y] + 2abCov[X,Y]\\
&(オ)\quad a^2V[X] + b^2V[Y]\\
\end{align}
5
\begin{align}
&(ア)\quad p (イ)\quad p(1-p)\\
&(ウ)\quad {}_n \mathrm{C}_x p^x(1-p)^{n-x}\\
&(エ)\quad np\qquad (オ)\quad np(1-p)\\
&(カ)\quad {}_n \mathrm{C}_x \left(\frac{\lambda}{n}\right)^x\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x}\rightarrow \frac{e^{-x}\lambda^x}{x!} (x = 0, 1, 2, ...)\\
&(キ)\quad \lambda\qquad (ク)\quad \lambda\\
&(ケ)\quad p(1-p)^{x-1}\\
&(コ)\quad \frac{1}{p}\qquad (サ)\quad \frac{1-p}{p^2}
\end{align}
6
\begin{align}
&(ア)\quad z=\frac{x-\mu}{\sigma}\\
&(イ)\quad n\qquad (ウ)\quad カイ２乗\\
&(エ)\quad n\qquad (オ)\quad t\\
&(カ)\quad F
\end{align}
7
(ア)一致 (イ)不偏
8
\begin{align}
&(ア)\quad \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2\\
&(イ)\quad \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\\
\end{align}
9
\begin{align}
&(ア)\quad \bar{x} - z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} (イ)\quad \bar{x} + z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\\
&(ウ)\quad \bar{x} - t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}\qquad (エ)\quad \bar{x} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}\\
&(オ)\quad \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n-1)}\qquad (カ)\quad \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n-1)}\\
&(キ)\quad \hat{p}-z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\qquad (ク)\quad \hat{p}+z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}
\end{align}
10
\begin{align}
&(ア)\quad d-z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m}+\frac{\sigma_2^2}{n}}\qquad (イ)\quad d+z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m}+\frac{\sigma_2^2}{n}}\\
&(ウ)\quad \frac{(m-1)\hat{\sigma}_1^2+(n-1)\hat{\sigma}_2^2}{m+n-2}\\
&(エ)\quad \frac{\sum(x_i-\bar{x})^2+\sum(y_i-\bar{y})^2}{m+n-2}\\
&(オ)\quad d-t_{\frac{\alpha}{2}}(m+n-2)\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}\hat{\sigma}\\
&(カ)\quad d+t_{\frac{\alpha}{2}}(m+n-2)\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}\hat{\sigma}\\
&(キ)\quad F_{1-\frac{\alpha}{2}}(m-1,n-1)\frac{\hat{\sigma}_y^2}{\hat{\sigma}_x^2}\\
&(ク)\quad F_{\frac{\alpha}{2}}(m-1,n-1)\frac{\hat{\sigma}_y^2}{\hat{\sigma}_x^2}\\
&(ケ)\quad \frac{1}{F_{\frac{\alpha}{2}}(n-1,m-1)}\frac{\hat{\sigma}_y^2}{\hat{\sigma}_x^2}\\
&(コ)\quad F_{\frac{\alpha}{2}}(m-1,n-1)\frac{\hat{\sigma}_y^2}{\hat{\sigma}_x^2}
\end{align}
11
(ア)第１種 (イ)検出 (ウ)第２種
(エ)帰無仮説$H_0$ (オ)$H_0$
(カ)対立仮説$H_1$ (キ)$H_0$
12
\begin{align}
&(ア)\quad z = \frac{|\bar{x}-\mu|}{\sigma/\sqrt{n}}\qquad (イ)\quad |z| \geq z_{\frac{\alpha}{2}}\\
&(ウ)\quad z = \frac{|\bar{x}-\mu|}{\sigma/\sqrt{n}}\qquad (エ)\quad |z| \geq z_{\alpha}\\
&(オ)\quad t\\
&(カ)\quad t = \frac{|\bar{x}-\mu|}{\hat{\sigma}/\sqrt{n}}\qquad (キ)\quad |t| \geq t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\\
&(ク)\quad t = \frac{|\bar{x}-\mu|}{\hat{\sigma}/\sqrt{n}}\qquad (ケ)\quad |t| \geq t_{\alpha}(n-1)\\
&(コ)\quad \chi^2 = \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\sigma_0^2}\qquad (サ)\quad\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2 (n-1) \leq \chi^2 \leq \chi_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \\
&(シ)\quad z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\qquad (ス)\quad |z| \geq z_{\frac{\alpha}{2}}\\
&(セ)\quad z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\qquad (ソ)\quad |z| \geq z_{\alpha}
\end{align}
13
\begin{align}
&(ア)\quad S_T = S_A + S_e\\
&(イ)\quad n-1\qquad (ウ)\quad a-1\qquad (エ)\quad n-a\\
&(オ)\quad \sum_{j=1}^{a}\sum_{i=1}^{n_j}(y_{ji}-\bar{y}_{..})^2\\
&(カ)\quad \sum_{j=1}^{a}n_j(\bar{y}_{j.}-\bar{y}_{..})^2\\
&(キ)\quad \sum_{j=1}^{a}\sum_{i=1}^{n_j}(y_{ji}-\bar{y}_{j.})^2\\
&(ク)\quad \frac{S_A/(a-1)}{S_e/(n-a)}\\
&(ケ)\quad (a-1,n-a)
\end{align}
14
(ア)非対称性 (イ)裾の長さ
(ウ)$0$ (エ)$0$
(オ)正 (カ)負
(キ)正 (ク)負
(ケ)$0$ (コ)正
(サ)$\mu_k = E[(X-\mu)^k]$ (シ)$\frac{\mu_3}{3}$ (ス)$\frac{\mu_4}{4}-3$