エラーの原因

There isn’t anything to compare.main and merge_branch are entirely different commit histories.

エラー文から、mainとmerge_branchで異なるコミット履歴のため比較できない。関係性がないのでマージしようがないということがわかります。
私の場合は、以下の理由が原因でプルリクできませんでした。

mainブランチをpushせずにmerge_branchをきってpushしたこと
merge_branchのコミットを取り消して、push -fを使ったこと

解決方法

まずリモートとローカルの差分を調べる

$ git ls-remote origin HEAD 　　#　リモートリポジトリの最新のコミットIDを確認できる
１１１１１１１１   HEAD 
$ git log --oneline  #　ローカルのコミットIDを確認できる
22222222 secound commit
33333333 first commit

同じコミットIDがないことから差分があることがわかります。

2.　次にどのブランチが古いのかを調べる

$ git remote show origin
　* remote origin
　        　・
　　　       　・ 省略
　　　       　・ 
  Local refs configured for 'git push':
    merge_branch pushes to merge_branch (up to date)
    main       pushes to main       (local out of date)

最終行の１行前をみると、(up to date) とありマージしたいブランチはリモートとローカルで差がないとわかります。（マージしたいブランチの方はpush -fしていたので当たり前ですが...）
最終行は、(local out of date) とありmainブランチのローカルが古いといわれています。
よって、mainブランチをリモートと同じにすればいいことがわかります。

3.　mainブランチをローカルと合わせる

$ git checkout main  # mainブランチに移動する
$ git push -f origin main 　# リモートのコミット履歴をローカルに合わせる
$ git ls-remote origin HEAD　　# 一応リモートの最新のコミットIDを確認するとローカルと一致している
22222222   HEAD

これでプルリクができるようになりました。

今回はそもそもmainブランチでコミットした後にpushし忘れていたことが始まりですが、push -fはコミットの歴史を変えてしまう（コミットのIDが変わる）ので気をつけて実行することが必要だと学びました。

初学者なので間違った解釈をしているかもしれません。
他にいい解決方法があればご教授ください！