オイラーの等式とは
$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}+1=0$ という等式のことです。世界一美しい数式とも呼ばれています。
美しさの理由
- 円周率$\pi$は「円における円周の長さ÷直径」などで定義され、その値は$\pi=3.141592\cdots$（無限に続く）です。
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ネイピア数$\mathrm{e}$は、「指数関数の微分が自分自身と一致するときの底
（つまり、$(\mathrm{e}^{x})^{\prime} = \mathrm{e}^{x}$となる）」などで定義され、その値は$\rm{e}=2.71828\cdots$（無限に続く）です。 - 虚数$\rm{i}$ は$\sqrt{-1}$で定義され、数直線上にすらなく、感覚的には存在しない数のような気がします（それに対して、$\pi$と$\rm{e}$は数直線上にあります）。
これらの全く関係のないようにみえる3つの要素を組み合わせた後に、極めて一般的な数である1を足すだけで、何もないことを表す「0」になるのです。すごい！
書籍：オイラーの贈物 人類の至宝e^iπ=-1を学ぶ (吉田 武)にも、数学において最も重要な定数であるネイピア数eと円周率π、さらに、虚数単位iが見事に調和結合した極めて印象的な式と記されています。
オイラーの等式の導出までの流れ
オイラーの等式の導出の流れが、同じ書籍 に示されています。内容はそこまで難しくなく、順に理解していけば、必ず結論までたどり着くことができると思います。オイラーの等式を理解できたときは感動しました。
書籍の内容は素晴らしいのですが、オイラーの等式にたどり着くまでの流れの全体感が分かる地図のようなものがあればもっと良いと思って作ってみました（数学的な厳密さは多少犠牲にしています）。
それがこちらです。
一見関係ない下の4つが組み合わさって、黒色の箱で示したオイラーの等式「$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}+1=0$」になるのはやっぱり美しい。
- 青色: 三角関数や円周率関係
- 赤色: 微分積分関係
- 緑色: ネイピア数関係
- オレンジ色: 虚数関係
参考
こちらの記事もとても面白かったです。
もしも円周率が$\pi$=円周÷直径=$3.14\cdots$ではなく、
$\tau$=円周÷半径=$6.28\cdots$で定義されていたら、オイラーの等式
$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tau}=1$
のようになります。