こちらで紹介したボタンの形ですが、解決方法がございます。

原因としてはbuttonStyleを設定していない事です。
コメントで教えて頂きました。

ただ、buttonStyleを設定すると見た目上は確かに不審な枠が消えるのですが、
ボタンのタップ範囲が狭くなってしまいました。

こちらがこのタブの修正後の実装です

.swift

HStack(spacing: 0) {
    ForEach(0..<menuItems.count, id: \.self) { index in
        Button {
            withAnimation {
                selectedTab = index
            }
        } label: {
            HStack(spacing: 0) {
                Spacer()
                Text(menuItems[index].label)
                    .foregroundColor(index == selectedTab ? .black : .gray
                Spacer()
            }.background(.white)
            
        }
        .buttonStyle(.plain)
    }
}

.buttonStyle(.plain)と.background(.white)を追加しました。
Button内のlabelにbackgroundを指定してあげないとタップ範囲がテキスト部のみで、ボタン全体にならないみたいです。