#はじめに
値がちゃんと保持されるようにラジオボタンを実装してみます。

#コード

create.blade.php

<div class="form-group">
    <label>{{ __('投稿') }}
    <div class="form-check form-check-inline">
        <input type="radio" name="release" class="form-check-input" id="release1" value="投稿しない" {{ old ('release') == '投稿しない' ? 'checked' : '' }} checked>
        <label for="release1" class="form-check-label">投稿しない</label>
    </div>
    <div class="form-check form-check-inline">
        <input type="radio" name="release" class="form-check-input" id="release2" value="投稿する" {{ old ('release') == '投稿する' ? 'checked' : '' }}>
        <label for="release2" class="form-check-label">投稿する</label>
    </div>
    </label>
</div>

edit.blade.php

<div class="form-group">
    <label>{{ __('投稿') }}
    <div class="form-check form-check-inline">
        <input type="radio" name="release" class="form-check-input" id="release1" value="投稿しない" {{ old ('release', $menu->release) == '投稿しない' ? 'checked' : '' }}>
        <label for="release1" class="form-check-label">投稿しない</label>
    </div>
    <div class="form-check form-check-inline">
        <input type="radio" name="release" class="form-check-input" id="release2" value="投稿する" {{ old ('release', $menu->release) == '投稿する' ? 'checked' : '' }}>
        <label for="release2" class="form-check-label">投稿する</label>
    </div>
    </label>
</div>

このように記述することで、登録画面においては、バリデーションエラー発生時に入力していた値を保持し、編集画面においては、登録した値を保持しつつ、バリデーションエラー発生時には直前に入力されていた値を保持することができます。

#おわりに
１人でも多くの方の参考になれば幸いです。