特定の enum に対して拡張したい場合は、それに対して extension を書けばいいです。
ただ、複数の enum に対して 使い回せる 拡張をしたい場合の書き方がわからなくなりがちだったので、記事にしました。

例で書いているコードは実用性のない適当なものなので、流し読みで。

様々な enum に適応する拡張

RawRepresentable の extension を作成すれば良いです。
※ RawValue が存在する enum をでなければ使用できません！

extension RawRepresentable {

    init?(_ rawValue: RawValue?) {
        guard let rawValue = rawValue else { return nil }
        guard let value = Self.init(rawValue: rawValue) else { return nil }
        self = value
    }

    var rawValueClassName: String {
        return String(describing: type(of: self.rawValue))
    }
}

特定の RawValue の enum に適応する拡張

特定の RawValue 型のすべての enum に適応されます。
上記の extension に where を指定します。

extension RawRepresentable where RawValue == Int {
    var twice: Int {
        return self.rawValue * 2
    }
}

// 下記のような enum に使用できます
enum Example: Int {}

自ら指定した enum のみ拡張させる

前述までのものでは、新たに enum を作成したとき、条件が一致すればそれも適応されてしまいます。
能動的に適応させるために protocol を用意します。

A. RawRepresentable に準拠させる

ただ protocol を用意しただけでは色々なものに適応できてしまうので、制限をかけます。
下記 protocol を RawValue = Int の enum 以外に適用させるとエラーが発生します。

// RawRepresentable に準拠させることで enum(RawValueあり) のみに使用できるように (from Swift5)
// where 句で RawValue の型を制限 (変えたりとったりご自由に)
protocol EnumProtocol: RawRepresentable where RawValue == Int {}
extension EnumProtocol {
    var twice: Int {
        return self.rawValue * 2
    }
}

// 下記のように使用します
enum Example: Int, EnumProtocol {}

B. extension に型制限をかける

下記のようにすることで、EnumProtocol 自体は class や struct など何にでも適用できますが、
.twice プロパティが使用できるのは RawValue が Int か String の enum のみです。

protocol EnumProtocol {}
extension EnumProtocol where Self: RawRepresentable, Self.RawValue == Int {
    var twice: Int {
        return self.rawValue * 2
    }
}
extension EnumProtocol where Self: RawRepresentable, Self.RawValue == String {
    var twice: String {
        return String(repeating: self.rawValue, count: 2)
    }
}

この辺は enum というより protocol の話なので、色々調べてみてください。

参考

https://qiita.com/abouch/items/67f9def6dc2feec3e183#特定の型が準拠することができるprotocol

環境

Swift 5.0