例えば、'school'が何番目のオブジェクトの中にあるのか知りたい場合。

const genres = [
    {route: 'jobs', name: '仕事'},
    {route: 'life', name: '日常'},
    {route: 'relationship', name: '人間関係'},
    {route: 'dozi', name: 'どじ'},
    {route: 'shame', name: '恥かいた'},
    {route: 'school', name: '学校'},
    {route: 'love', name: '恋愛'},
    {route: 'marriage', name: '結婚生活'},
    {route: 'game', name: 'ゲーム'},
    {route: 'disease', name: '病気'},
    {route: 'heart', name: '心'},
];

//まずrouteのvalueだけで配列を作成する。
const genreRoutes = genres.map((obj) => {
  return obj.route;
});
// 結果 genreRoutes = ['jobs', 'life', 'relationship', ....]

let index = genreRoutes.indexOf('school');
// 結果 5

なんか日本語が難しいですね。
タイトルがわけわかめ。。
ほぼ自分用なのですみません。

ちなみになぜ'route'なのかというと、Vue Routerでルートパラメータとして使用するからです。
もしこれ以外に方法があれば教えてくださいm(__)m