$ax^2+bx+c=0$ のように$記号でLaTeX表記の数式を囲むと、画像が返送されます。なお、1つのメッセージにつき1つの数式を返すことができます。

LaTeX表記については、http://www.latex-cmd.com をご覧ください。

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開発

以下の参考を読み、実装しました。

参考

Google Chart APIの数式は非推奨となったようなので、いつ使えなくなるかはわかりません。
CGIモジュールを使用しているのは、+などの記号をエンコードする必要があるためです。

callback.rb

class LinebotController < ApplicationController
  require 'line/bot'
  require 'cgi'

  protect_from_forgery :except => [:callback]

  def client
    @client ||= Line::Bot::Client.new { |config|
      config.channel_secret = ENV["LINE_CHANNEL_SECRET"]
      config.channel_token = ENV["LINE_CHANNEL_TOKEN"]
    }
  end

  def callback
    body = request.body.read

    signature = request.env['HTTP_X_LINE_SIGNATURE']
    unless client.validate_signature(body, signature)
      head :bad_request
    end

    events = client.parse_events_from(body)

    events.each { |event|
      case event
      when Line::Bot::Event::Message
        case event.type
        when Line::Bot::Event::MessageType::Text
          if event.message['text'].include?('$')
            formula = CGI.escape(event.message['text'].match(/(?<=\$)(.*)(?=\$)/).to_s())
            message = {
              type: "image",
              originalContentUrl: "https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=#{formula}",
              previewImageUrl: "https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=#{formula}"
            }
            client.reply_message(event['replyToken'], message)
          end
        end
      end
    }

    head :ok
  end
end