はじめに

春から社内SEとなりました。諸々勉強中ですので、熟練の方にとっては物足りない内容かもしれません。 Qiitaの投稿内容は私のメモ程度の内容ですので所属する組織の見解や学術的な内容ではありません。頑張って更新続けます。

正規分布の確率密度関数とは

平均μ、分散σ^2の正規分布の確率密度関数は下記のように表現されます。

X〜N(\mu,\sigma^2)

ならば

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}\times\exp(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2)

正規分布のグラフとは

上記の確率密度関数のグラフを書きたいと思います。グラフを書くには微分して増減表を書きます。（合成関数の微分です）

\begin{align}
\frac{df(x)}{dx} &= \frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}\times\exp(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2)\times(-\frac{1}{2\sigma^2}\times2\times(x-\mu))\\

&=f(x)\times\frac{-(x-\mu)}{\sigma^2}
・・・①
\end{align}

（まあまあ綺麗にまとまります）
もう一回微分します。
（積の微分です）

\begin{align}
\frac{d}{dx}\frac{df(x)}{dx}&= \frac{df(x)}{dx}\frac{-(x-\mu)}{\sigma^2}+f(x)\frac{-1}{\sigma^2}\\
&= f(x)\times\frac{-(x-\mu)}{\sigma^2}\times\frac{-(x-\mu)}{\sigma^2}-f(x)\frac{1}{\sigma^2}\\
&= f(x)\times\frac{1}{\sigma^4}\times(x-\mu)^2-f(x)\frac{1}{\sigma^2}\\
&= f(x)\frac{1}{\sigma^4}
((x-\mu)^2-\sigma^2)\\
&= f(x)\frac{1}{\sigma^4}
((x-\mu)+\sigma)((x-\mu)-\sigma)
・・・②
\end{align}

（綺麗です）

よって増減表は下記の通りです。

x	・・・	μ	・・・
①	+	0	-
f(x)	・・・	極大	・・・

x	・・・	μ-σ	・・・	μ+σ	・・・
②	+	0	-	0	+
f(x)	・・・	変曲点	・・・	変曲点	・・・

ちなみに

\begin{align}
\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\exp(-x^2)=0
\end{align}

であるので

\begin{align}
\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=0
\end{align}

です。
(ここでは厳密な証明を避けております。はさみうちの原理？です。
私の知能を察してください。)

よって平均μ、分散σ^2の正規分布のグラフは
μ（平均値）で極大になり、μから±σ（標準偏差）離れているところで変曲点になると想像できます。

Rによる正規分布とは

理屈だけではイメージできないので可視化してみます。平均0,分散1の正規分布は下記のようになります。

sample.R

> curve(dnorm,-3,3)

分散1と仮定してますので標準偏差は1となります。
x=±1でいい感じの変曲点になっているかと思います。

終わりに

なんとなく正規分布のグラフを書いてしまいがちですが、高校数学を用いると多少正確に書けることができます。（変曲点がどこなのか考えて描けます）

ちなみに
平均0分散1の正規分布を標準正規分布と呼びます。
また
平均50分散100（=標準偏差10）の正規分布は偏差値として使用されます。
（偏差値60の方は変曲点におります）

反省

私はネットサーファーですが、実際に記事を書くと色々と苦労しました。 Qiitaを投稿している方々に改めて感謝しつつ、私も有用なものをたくさん書きたいと思いました。