背景

ズンドコキヨシ問題、今更社内でうっかり流行ったりしたところ、ある同僚曰く、
「ズンとドコが出る確率を等しくせず、ズンの方を大きくしたら、どんどん早くキ・ヨ・シ！が成立するのでは」
いやいやいや、そんなばかな。まずドコが0だと永遠に成立しないし。おかしいやろ。
と、ムキになっていろいろ解いてみた。

TL;DR

ズンが出る確率を x とすると、ドコが出る確率は

1 - x

となる。
ズンが4回連続出て、その直後にドコが出てキ・ヨ・シ！が成立する確率は、

P(x) = x^{4} (1 - x) , (0 \leq x \leq 1)

ここで、

P(0) = 0, P(1) = 0

である。

P(x) を微分すると、

\frac{d}{dx} P(x) = x^{3}(4-5x)

となり、

\frac{d}{dx} P(\frac{4}{5}) = 0

とわかる。

さらに2回微分を求めると、

\frac{d^{2}}{dx^{2}} P(x) = 4x^{2}(3-5x)

なので、これより、

\frac{d^{2}}{dx^{2}} P(\frac{4}{5}) = -\frac{64}{25} < 0

となる。
以上を踏まえて、増減表を書くと、

となり、ズンの出現確率が

\frac{4}{5}

の時、確率が最大

\frac{256}{3125}

となる。

ズンがk回連続出て、その直後にドコが出てキ・ヨ・シ！が成立する確率は、

P(x) = x^{k} (1 - x) , (0 \leq x \leq 1)