背景
ズンドコキヨシ問題、今更社内でうっかり流行ったりしたところ、ある同僚曰く、
「ズンとドコが出る確率を等しくせず、ズンの方を大きくしたら、どんどん早くキ・ヨ・シ！が成立するのでは」
いやいやいや、そんなばかな。まずドコが0だと永遠に成立しないし。おかしいやろ。
と、ムキになっていろいろ解いてみた。
TL;DR
- 高々5次の多項式の増減を求める問題に帰着。
- ズンが4/5の割合で出る時一番早く成立する。
- ズンがk回連続する場合も同様に簡単に求まる。
- Qiita で LaTeX 記法うれしい。
とりあえず計算
ズンが出る確率を x とすると、ドコが出る確率は
1 - x
となる。
ズンが4回連続出て、その直後にドコが出てキ・ヨ・シ！が成立する確率は、
P(x) = x^{4} (1 - x) , (0 \leq x \leq 1)
ここで、
P(0) = 0, P(1) = 0
である。
P(x) を微分すると、
\frac{d}{dx} P(x) = x^{3}(4-5x)
となり、
\frac{d}{dx} P(\frac{4}{5}) = 0
とわかる。
さらに2回微分を求めると、
\frac{d^{2}}{dx^{2}} P(x) = 4x^{2}(3-5x)
なので、これより、
\frac{d^{2}}{dx^{2}} P(\frac{4}{5}) = -\frac{64}{25} < 0
となる。
以上を踏まえて、増減表を書くと、
| x | 0 | ... | 3/5 | ... | 4/5 | ... | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P''(x) | 0 | 0 | -(64/25) | 0 | |||
| P'(x) | 0 | 増加 | 27/125 | 減少 | 0 | 減少 | -1 |
| P(x) | 0 | 増加 | 162/3125 | 増加 | 256/3125 | 減少 | 0 |
となり、ズンの出現確率が
\frac{4}{5}
の時、確率が最大
\frac{256}{3125}
となる。
ズンがk回連続する場合の一般解
ズンがk回連続出て、その直後にドコが出てキ・ヨ・シ！が成立する確率は、
P(x) = x^{k} (1 - x) , (0 \leq x \leq 1)
ここで、
P(0) = 0, P(1) = 0
である。
P(x) を微分すると、
\frac{d}{dx} P(x) = x^{k-1}(k-(k+1)x)
となり、
\frac{d}{dx} P(\frac{k}{k+1}) = 0
とわかる。
ここまで解けば、k=4 の時と増減表は同様になるので、2階微分導出と増減表の記述は省略する。
よって、ズンの出現確率 x が
\frac{k}{k+1}
の時、確率が最大
\frac{1}{k+1} (\frac{k}{k+1})^{k}
となる。
感想
ここまで書いたけど心底どうでもいい。時間を返して欲しい。
Qiita の数式記法を試したいだけの人生だった。