- 大昔の学生の時学んだ数学を再勉強していて、Qiitaの数学記法がノートの代わりとして使えそうなので書いてみます。
問題
$\Omega \in \mathbb{R}^n$ 開集合。
$\Omega$に関する次の命題は同値である。
- $\Omega$は領域
- $\Omega$は弧状連結
- $\Omega$は折れ線連結
だだし、 $\Omega$が折れ線連結とは$\Omega$の任意の2点$x,y$に対して、$x,y$を結ぶ$\Omega$内の折れ線が存在することである。
証明
- 方針：3→2→1→3を証明する
3→2
折れ線は連続であるから、弧状連結の定義より$\Omega$は弧状連結。
2→1
1→3
$x_0 \in \Omega$ fix
g(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & (xがx_0と\Omega内の折れ線で結べる) \\
0 & (xがx_0と\Omega内の折れ線で結べない)
\end{array}
\right.
$g(x) = 1$の時
$\Omega$は領域だから
$\exists r > 0 \ s.t \ B_r(x) \subset \Omega$ ($B_r(x)$は$x$を中心とした半径$r$の開球)
$\forall y \in \ B_r(x)$
$[x, y] \subset \ B_r(x)$
$x_0$と$x$を結ぶ折れ線を$\Gamma$とすると$[x, y] \cup \Gamma$は$x_0$と$y$を結ぶ折れ線
$∴ g(y) = g(x) = 1 (\forall y \in B_r(x))$
$g$は$x$で局所定数関数
$g(x) = 0$の時
$g(x) = 1$の時と同様
$\exists r > 0 \ s.t \ B_r(x) \subset \Omega$ ($B_r(x)$は$x$を中心とした半径$r$の開球)
ここでもし、$\exists y \in B_r(x) \ s.t \ g(y) = 1$なら$x_0$と$y$が折れ線で結べ、$x$と$y$は線分で結べるから$g(x) = 1$となってしまう。
すなわち$g(y) = 0 \ (\forall y \ \in B_r(x))$
よって$g:\Omega \to \mathbb{R}$は局所定数関数
$\Omega$は領域だから連結より局所定数関数$g$は定数関数。
$g(x_0) = 1$であるから
$\forall y \in \Omega \ \ g(y) = 1$ ($g(y) = 0$となる点は存在しない)
よって$\Omega$は折れ線連結