- 大昔の学生の時学んだ数学を再勉強していて、Qiitaの数学記法がノートの代わりとして使えそうなので書いてみます。
問題
位相空間$X$が弧状連結ならXは連結。
証明
$X$は弧状連結であるから
$x_0 \in X$ fix
$\forall x \in X$
曲線 $\psi:[\alpha, \beta] \to X$が存在して、$\psi(\alpha)=x_0 \ ,
\psi(\beta)=x$
$C_x := \psi([\alpha, \beta])$
は連結で$x_0$と$x$を含む。
そこで
$X$の連結部分集合族$\{C_x\}_{x \in X}$を見ると、定義から $\cup_{x \in X}C_x = X$
$x, y \in X$について、$x_0 \in C_x \cap C_y$
よって$C_x \cap C_y \neq \phi$
すなわち$X = \cup_{x \in X}C_x$は連結 (※）
補足（※）
$ (Y_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} $
を位相空間 $X$ の連結部分集合族で、 $Y_\lambda \cap Y_\mu \neq \phi$ $(\lambda, \mu \in \Lambda)$ が成立しているなら
$Y = \cup_{\lambda \in \Lambda}Y_\lambda$ は連結部分集合