Chainerが2.0へアップデートされて後方互換性がなくなったので，AlexNetを例に2.0.2で動かせるように修正した部分を書いていきます．

ネットワーク部分

主にこの部分が変更になり，それ以外は特に変更する必要がないと思います．
v1.xの際は__init__部分で直接class継承を行なっていましたが，v2.xではwith self.init_scope():を用いるように変更になりました．
それに伴いinit部分の記法が変わっています．これまで fc_n = L.function( ), と記述していたのに対して， self.fc_n = L.function( )というようにself.を追加し，最後の，が必要なくなります．

ここの，を削除し忘れるとTypeError: 'tuple' object is not callable となるので注意．
このエラーでデータセットの方が悪いのかと思ってどハマりしました．

v1.x_Alex.py

class Alex(chainer.Chain):
  def __init__(self):
    super(Alex, self).__init__(
      conv1=L.Convolution2D(None,  96, 11, stride=4),
      conv2=L.Convolution2D(None, 256,  5, pad=2),
      conv3=L.Convolution2D(None, 384,  3, pad=1),
      conv4=L.Convolution2D(None, 384,  3, pad=1),
      conv5=L.Convolution2D(None, 256,  3, pad=1),
      fc6=L.Linear(None, 4096),
      fc7=L.Linear(None, 4096),
      fc8=L.Linear(None, 1000),
    )
  self.train = True
...

v2.x_Alex.py

class Alex(chainer.Chain):
  def __init__(self):
    super(Alex, self).__init__()
    with self.init_scope():
      self.conv1 = L.Convolution2D(None,  96, 11, stride=4)
      self.conv2 = L.Convolution2D(None, 256,  5, pad=2)
      self.conv3 = L.Convolution2D(None, 384,  3, pad=1)
      self.conv4 = L.Convolution2D(None, 384,  3, pad=1)
      self.conv5 = L.Convolution2D(None, 256,  3, pad=1)
      self.fc6 = L.Linear(None, 4096)
      self.fc7 = L.Linear(None, 4096)
      self.fc8 = L.Linear(None, 1000)
...

また，学習時にのみ反映させるtrainが関数内から削除され，with chainer.using_config()で指定しています．

model = L.Classifier(Alex())
with chainer.using_config('train',False):
  y = (x)

基本的にこのchainer.configで設定を行うのが共通になるらしく，usecudnnもこれで設定することになっています．
chainer.config.use_cudnn = 'never' と記述すると一括で使用しない設定にできます．

反復部分

変えないと動かない部分はありませんが，trainer.extendの種類が増えています．

if extensions.PlotReport.available():
  trainer.extend(extensions.PlotReport(['main/loss', 'validation/main/loss'],
                 'epoch', file_name='loss.png'))
  trainer.extend(extensions.PlotReport(['main/accuracy', 'validation/main/accuracy'],
                'epoch', file_name='accuracy.png'))

と記述することで自動でlossとaccuracyのグラフが出力されるようですが，自分の環境では入っているはずのmatplotlibがないと言われてうまく動きませんでした．

動かしてみて

変更して実際に動かして見た感じですが，一般的なLinearだけで構成されているfeed-forwardネットワークは特に今までと変わらなかったのですが，AlexNetをベースにしたネットワークでは極端に学習が遅くなっている気がします．
おそらく書き方が悪いのかと…

こちらの公式にその他の変更点も書かれています
Chainer docs