はじめに
- こんにちは ! KDDI アジャイル開発センターの小板橋です。
- この記事は、KDDI Engineer Advent Calendar 2020の10日目の記事となります。
- Haskell初心者の備忘録としてこの記事を残します。
半群とは
抽象代数学であるモノイドを学ぶ前に半群について学びます。
次の条件を満たす集合を半群と呼びます。
- 結合法則を満たす下記のような演算が定義されている。なお、この時のa, b, cはある集合Gの要素として含む。
( a · b ) · c = a · ( b · c )
モノイドとは
モノイドとは、ひとつの二項演算と単位元をもつ代数的構造です。
例えば、整数の集合は加算演算子と単位元0に対してモノイドを形成します。
もう少し詳しく説明すると、
結合法則を満たす下記のような演算が定義されている。なお、この時のa, b, cはある集合Gの要素として含む。
( a · b ) · c = a · ( b · c )
且、下記のような単位元がある構造を指します。なお、この時のaはある集合Gの要素として含み、eもある集合Gの要素として含む。
e · a = a = a · e
つまり、？？
下記のような構造になるということです。
半群 + 単位元e
e <> x = x = x <> e
例: Integer同士の足し算を考えたときに、0をどちらかに足し合でも変化がないことが分かると思います。
0 + 3 = 3 = 3 + 0
0 + 5 = 5 = 5 + 0
0 + 7 = 7 = 7 + 0
型クラスMonoidの定義
class Monoid a where
mempty :: a
mappend :: a -> a -> a
mconcat :: [a] -> a
mconcat = foldr mappend mempty
- memptyは、単位元を表しています。
- mappendは、二項演算子を表しています。
- mconcatは、リストに格納されているモノイドを結合する関数です。
- mconcatは、デフォルト実装が定義されている為、インスタンスを利用する場合、memptyとmappendを定義するだけでMonoidになります。
型クラスMonoidを使用する
例えば、リスト[x,y,z]にmconcatを適用すると以下のようになります。
x `mappend` (y `mappend` (z `mappend` mempty))
Monoidクラスの２つのメソッドは、単位元と結合に関する則を満たす必要があります。
mempty `mappend` x = x
x `mappend` mempty = x
x `mappend` (y `mappend` z) = (x `mappend` y) `mappend` z
これらの則を用いると、例えばmconcat[x,y,z]の結果は、下記のように直せます。
→ 理由 : モノイド則によって、結果に影響を与えないことが保証されているためです。
x `mappend` y `mappend` z
実際に試してみる
example.hs
[1,2,3] `mappend` [4,5,6]
GHCi, version 8.6.5
=> [1,2,3,4,5,6]