回転軸が中心か端かで必要トルクはどれだけ変わる？ 直方体負荷の慣性モーメントと平行軸の定理

はじめに

モータでアームやテーブルを回すとき、必要なトルクは負荷の 慣性モーメント で大きく変わります。慣性モーメントは「回転のしにくさ」を表す量で、物体を小さな質点に分けたときの $\sum m_i r_i^2$（質量 × 回転軸からの距離の2乗の合計）です。距離の2乗で効くため、同じ形・同じ重さの部品でも、どこを回転軸にするか で慣性モーメントは何倍も違います。

この記事では、直方体の負荷を例に、次の2つの回し方を比べます。

• 重心を通る軸で回す（中心で回転）
• 端を通る軸で回す（端で回転）

そして、平行軸の定理 を使って「端で回転」の慣性モーメントを求め、必要な加速トルクまで手計算します。

前提条件

• 負荷は、密度が一様な直方体とします
• 寸法は、幅 $W$、高さ $H$、長さ $L$ です
• 回転軸は 高さ $H$ の方向（鉛直） とし、負荷は水平面内で回転するものとします
• 求めるのは、負荷を角加速度 $\alpha$ で加速するための 加速トルク です。摩擦・外力・減速機などは考えません（最後の「この記事で扱っていないこと」を参照）

回転軸が水平な場合は、重力によるトルクも加わります。 ロボットアームの関節で腕を上下に振る場合などがこれにあたります。この記事で求めるのは加速トルクだけなので、そのままでは必要トルクが足りません。重心が回転軸から距離 $d$ にあるとき、重力トルクは最大で $m g d$（腕が水平になったとき。$g \approx 9.81\ \mathrm{m/s^2}$）になります。たとえば後の数値例（12 kg、長さ 600 mm）を端の水平な軸で持ち上げる場合、重力トルクの最大値は $12 \times 9.81 \times 0.3 \approx 35.3\ \mathrm{N \cdot m}$ で、加速トルク（4.44 N·m）の約8倍になります。

回転軸の位置は、上から見て次のとおりです（○ が回転軸、紙面に垂直）。

• 中心で回転：重心を通る鉛直な軸
• 端で回転：長さ $L$ の端面（$W \times H$ の面）の中央を通る鉛直な軸。重心からの距離は $L/2$

式と単位

中心で回転

直方体の、重心を通り高さ方向に平行な軸まわりの慣性モーメントは次の式です¹。

J_c = \frac{1}{12} m \left( W^2 + L^2 \right)

回転軸と平行な寸法である高さ $H$ は、式に入りません。軸から見た距離に影響しないためです。

端で回転（平行軸の定理）

重心を通る軸まわりの慣性モーメント $J_c$ がわかっていれば、それと平行で距離 $d$ だけ離れた軸まわりの慣性モーメントは、平行軸の定理で求められます²。

J = J_c + m d^2

この式は、次のように考えるとイメージしやすくなります。端の軸で回すと、物体は「重心のまわりで向きを変える回転」と「重心そのものが回転軸のまわりを半径 $d$ の円を描いて動く運動」を同時にしています。前者の回しにくさが $J_c$、後者は質量 $m$ が重心の1点に集まっているとみなしたときの $m d^2$ で、この2つを足したものが $J$ です。

（厳密には、各質点の位置を「重心からのずれ」で表して $\sum m_i r_i^2$ を展開すると、重心の定義 $\sum m_i \boldsymbol{\rho}_i = \mathbf{0}$ から交差する項が0になるため、ちょうど2つの和になります。）

端で回転の場合は $d = L/2$ なので、次のようになります。

J_{\mathrm{end}} = \frac{1}{12} m \left( W^2 + L^2 \right) + m \left( \frac{L}{2} \right)^2 = \frac{1}{12} m \left( W^2 + 4L^2 \right)

加速トルクと安全率

慣性モーメントが求まれば、加速トルクは角加速度 $\alpha$ を掛けるだけです。モータ選定の初期検討では、これに安全率 $S$ を掛けた値を目安にします。安全率は、計算に含めていない要素や見積もりの誤差に備える余裕で、条件がよくわかっていない初期検討では 1.5〜2.0 程度から検討することが多いです（この記事の数値例では 1.5 を使います）。

T_{\mathrm{acc}} = J \alpha, \qquad T_{\mathrm{req}} = T_{\mathrm{acc}} \, S

記号	意味	単位
$m$	質量	kg
$W,\ H,\ L$	幅・高さ・長さ	m
$J$	慣性モーメント	kg·m²
$\alpha$	角加速度	rad/s²
$T_{\mathrm{acc}}$	加速トルク	N·m
$S$	安全率	―
$T_{\mathrm{req}}$	安全率込みの必要トルク	N·m

$\mathrm{kg \cdot m^2 \times rad/s^2}$ は $\mathrm{N \cdot m}$ になります（rad は無次元として扱います）。

手計算の数値例

次の条件で計算します。

• 質量 $m = 12\ \mathrm{kg}$
• 幅 $W = 200\ \mathrm{mm} = 0.2\ \mathrm{m}$、高さ $H = 50\ \mathrm{mm} = 0.05\ \mathrm{m}$、長さ $L = 600\ \mathrm{mm} = 0.6\ \mathrm{m}$
• 角加速度 $\alpha = 3\ \mathrm{rad/s^2}$、安全率 $S = 1.5$

中心で回転

J_c = \frac{1}{12} \times 12 \times \left( 0.2^2 + 0.6^2 \right) = 0.04 + 0.36 = 0.4\ \mathrm{kg \cdot m^2}

T_{\mathrm{acc}} = 0.4 \times 3 = 1.2\ \mathrm{N \cdot m}, \qquad T_{\mathrm{req}} = 1.2 \times 1.5 = 1.8\ \mathrm{N \cdot m}

端で回転

d = \frac{0.6}{2} = 0.3\ \mathrm{m}, \qquad J = 0.4 + 12 \times 0.3^2 = 0.4 + 1.08 = 1.48\ \mathrm{kg \cdot m^2}

T_{\mathrm{acc}} = 1.48 \times 3 = 4.44\ \mathrm{N \cdot m}, \qquad T_{\mathrm{req}} = 4.44 \times 1.5 = 6.66\ \mathrm{N \cdot m}

回転軸	$J$ [kg·m²]	$T_{\mathrm{acc}}$ [N·m]	$T_{\mathrm{req}}$ [N·m]
中心で回転	0.4	1.2	1.8
端で回転	1.48	4.44	6.66

同じ部品でも、端で回すと必要トルクは 3.7倍 になりました。

何倍になるかの目安

端で回転と中心で回転の比は、次の式で表せます。

\frac{J_{\mathrm{end}}}{J_c} = \frac{W^2 + 4L^2}{W^2 + L^2}

• 細長い負荷（$W \ll L$）では 約4倍 に近づきます
• 幅と長さが等しい（$W = L$）ときは 2.5倍 です

細長いアームを根元で回す構成では、中心で回す場合の約4倍のトルクが必要になる、と覚えておくと見積もりに便利です（回転軸が鉛直で、加速トルクだけを比べた場合）。

数値を変えて試す

筆者が個人で運営している モータ必要トルク計算 で、この記事の計算を試せます。

• 直方体の「端で回転」「中心で回転」を切り替えて、途中式つきで比べられる
• 角加速度は、回転数と加速時間からも入力できる
• 回転軸の向きを「水平」にすると、重力トルク（最大値）を含めた必要トルクも出せる

この記事で扱っていないこと

この記事の計算は、負荷を加速するための理論上のトルクです。実際のモータ選定では、次のような項目も考慮する必要があります。

• 回転軸が水平な場合の重力によるトルク
• 摩擦トルク、外力
• 減速機を使う場合のモータ軸への換算と効率
• モータ・減速機・カップリングなど、駆動側の慣性モーメント
• モータのピークトルク・連続定格トルク、運転パターン全体の実効トルク（RMS トルク）

まとめ

• 同じ直方体でも、回転軸の位置で慣性モーメントと必要トルクは大きく変わる
• 中心で回転：$J_c = \frac{1}{12} m (W^2 + L^2)$
• 端で回転（長さ $L$ の端面の中央）：平行軸の定理で $J = J_c + m (L/2)^2 = \frac{1}{12} m (W^2 + 4L^2)$
• 細長い負荷では、端で回すと中心で回す場合の約4倍、今回の例（12 kg・200 × 600 mm）では3.7倍になった
• 回転軸が水平な場合は、重力トルク（最大 $m g d$）も加える
• 「端」がどこを通る軸かを先に決める。寸法は m、角加速度は rad/s² にそろえる

参考

1. 直方体（solid cuboid）の慣性モーメント：List of moments of inertia - Wikipedia（英語）。高さ方向の軸まわりは $\frac{1}{12} m (w^2 + d^2)$ として記載されている。 ↩

2. 平行軸の定理 - Wikipedia ↩