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多項分布とディリクレ分布の解釈メモ

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多項分布の解釈

条件

試行回数$N$と事象$X_i$が発生する確率$p_i$は決まっている.
(この時,まだ事象は発生していないと考える)

多項分布からは,上記の条件のもと,各事象が何回起きるかをサンプリングできる($n_i$をサンプリングできる)

試行回数が6,事象が$X_1,X_2,X_3$の3つ,各事象が発生する確率を$1/2,1/3,1/6$とする.
この時,$n_1=3,n_2=2,n_3=1$が最も発生しやすいため,多項分布からサンプリングされやすい.

(だが,$n_1=2,n_2=2,n_3=2$や$n_1=1,n_2=3,n_3=2$なども,サンプリングされる回数は少ないが,サンプリングされることもある.)

ディリクレ分布の解釈

条件

各事象が起きる回数$\alpha_i-1$が決まっている.(自分で決める)

ディリクレ分布からは,上記の条件のもと,各事象が起きる確率をサンプリングできる($\mu_i$をサンプリングできる)

各事象が起きる回数$\alpha_1-1 = 3, \alpha_2-1 = 2, \alpha_3-1 = 1$,(つまり$\alpha-1=6$)とする.
この時,ディリクレ分布からは$\mu_1=1/2,\mu_2=1/3,\mu_3=1/6$が各事象が起きる回数から尤もらしいため,サンプリングされやすい.

(だが,$\mu_1=1/3,\mu_2=1/2,\mu_3=1/6$とかもサンプリングされることがある)

ディリクレ分布は多項分布の共役事前分布

ベイズ推定より,尤度$p(x|\theta)$を多項分布,事前分布$p(\theta)$をディリクレ分布とすると,事後分布$p(\theta|x)$($x$という新しい情報が入り,事象が起きる確率$\theta$の分布が更新されている)もディリクレ分布になる.

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