動機

DockerHubにはphp-fpmのための公式のイメージがありますが、ベースはdebianまたはalpineだったと思います。
実際のサーバー環境はCentOSを使用していて、yumによりパッケージをインストールをしています。
コンテナでもyumが使えて、同じように書けると楽です。

使用手順

docker-compose upを実行すると、nginxコンテナとphp_fpmコンテナが起動します。
ブラウザでhttp://localhost/index.phpを表示すると、phpinfoの実行結果が表示されると思います。

はまった点

php-fpmの設定を誤っていたことで、nginxコンテナからphp_fpmコンテナへアクセスできずに、はまってしまいました。
(unixソケットを使用する場合には不要ですが)

php/www.conf

; List of addresses (IPv4/IPv6) of FastCGI clients which are allowed to connect.
; Equivalent to the FCGI_WEB_SERVER_ADDRS environment variable in the original
; PHP FCGI (5.2.2+). Makes sense only with a tcp listening socket. Each address
; must be separated by a comma. If this value is left blank, connections will be
; accepted from any ip address.
; Default Value: any
; HACK 外部からのアクセスを許す場合はコメント(any)にするか、IPを指定する
;listen.allowed_clients = 127.0.0.1