pubspec.yamlにshareを追加する

# コマンドを実行する
$ flutter pub add share

or

# pubspec.yamlに直接書き込む
dependencies:
  flutter:
    sdk: flutter

  # The following adds the Cupertino Icons font to your application.
  # Use with the CupertinoIcons class for iOS style icons.
  cupertino_icons: ^1.0.2
  
  # 追加
  share: ^2.0.4

AppBarのシェアアイコンで共有できるようにする

Share.share()に共有したいテキストを渡します。

@override
Widget build(BuildContext context) {
  return Scaffold(
    appBar: AppBar(
      title: const Text('Share Sample'),
      actions: [
        // シェアボタン
        IconButton(
          icon: Icon(Icons.share),
          // シェアボタンをクリックしたときに呼ばれる処理
          onPressed: () => _share(),
        ),
      ],
    ),
  );
}

void _share() => Share.share('共有するテキスト');

これでAppBarのシェアアイコンをクリックすると、共有するためのボトムシートが表示されます。

r（Hot reload）またはR（Hot restart）したときに以下のエラーが発生したら、一度アプリを止めてflutter runを実行すれば、エラーが消えると思います。

E/flutter (28335): [ERROR:flutter/lib/ui/ui_dart_state.cc(199)] Unhandled Exception: MissingPluginException(No implementation found for method share on channel plugins.flutter.io/share)
E/flutter (28335): #0      MethodChannel._invokeMethod (package:flutter/src/services/platform_channel.dart:156:7)
E/flutter (28335): <asynchronous suspension>

また、シェアするテキストが空だと、エラーが発生します。

'package:share/share.dart': Failed assertion: line 40 pos 12: 'text.isNotEmpty': is not true.

全体のコード

import 'package:flutter/material.dart';
import 'package:share/share.dart';

void main() {
  runApp(MyApp());
}

class MyApp extends StatelessWidget {
  @override
  Widget build(BuildContext context) {
    return MaterialApp(
      title: 'Share Sample',
      theme: ThemeData(
        primarySwatch: Colors.blue,
      ),
      home: MyHomePage(),
    );
  }
}

class MyHomePage extends StatefulWidget {
  @override
  _MyHomePageState createState() => _MyHomePageState();
}

class _MyHomePageState extends State<MyHomePage> {
  @override
  Widget build(BuildContext context) {
    return Scaffold(
      appBar: AppBar(
        title: const Text('Share Sample'),
        actions: [
          IconButton(
            icon: Icon(Icons.share),
            onPressed: () => _share(),
          ),
        ],
      ),
    );
  }

  void _share() => Share.share('');
}