この記事はProxyとの戦いに勝利したProxyを華麗にスルーしてWi-Fiを飛ばすには - Qiitaの後日談です。
環境などは上の記事に準じておりますので，是非ご一読の上こちらの記事をお読みください。
Proxy経由だとなぜゲームができない？
ゲームではウェルノウンポート以外のポートを多用するためです。
つまり，ゲーム側がウェルノウンポート以外でTLS通信をしている場合は，Squid側で設定してあげることで正常に通信ができるようになります。
具体的にどう設定したの(追加するポートを4432番とします)。
/etc/squid/squid.conf
- acl SSL_ports port 443
+ acl SSL_ports port 443 4432
+ acl Safe_ports port 4432
SSL_portsとSafe_portsに追加したいポートを加えるだけです。
参考文献
443以外のSSLポートを使用するプロキシサーバ（Squid）の設定 : https://minory.org/proxy-squid-403-error.html