公式のQuickStartを参考にやっていきます。
※私自身もReact始めたてなので、こうやって開発した！という備忘録的な意味もあります。

前提

Laravel5.5 ＋ Reactの初期設定が完了していること
（前回の記事参照ください）

Laravelのルータ設定

react-router-domで定義したURLで直接アクセスしてもちゃんと表示されるように設定を変更します。
これをやらないと、「127.0.0.1:8000/」はアクセスできても「127.0.0.1:8000/about」にアクセスできません。
（ここに記載されていました）

router/web.php

+ Route::get('/{path?}', function(){
+     return view('welcome');
+ } )->where('path','.*');

- Route::get('/', function () {
-     return view('welcome');
- });

React-router-dom インストール

npm install --save react-router-dom

resources/assets/js/components/Example.js

※ほぼQuickStartのママです。 前回のExample.jsをちょっとマージしてます。

import React, { Component } from 'react';
import ReactDOM from 'react-dom';
import {
  BrowserRouter as Router,
  Route,
  Link
} from 'react-router-dom'

const Home = () => (
  <div>
    <h2>Home</h2>
  </div>
)

const About = () => (
  <div>
    <h2>About</h2>
  </div>
)

const Topic = ({ match }) => (
  <div>
    <h3>{match.params.topicId}</h3>
  </div>
)

const Topics = ({ match }) => (
  <div>
    <h2>Topics</h2>
    <ul>
      <li>
        <Link to={`${match.url}/rendering`}>
          Rendering with React
        </Link>
      </li>
      <li>
        <Link to={`${match.url}/components`}>
          Components
        </Link>
      </li>
      <li>
        <Link to={`${match.url}/props-v-state`}>
          Props v. State
        </Link>
      </li>
    </ul>

    <Route path={`${match.url}/:topicId`} component={Topic}/>
    <Route exact path={match.url} render={() => (
      <h3>Please select a topic.</h3>
    )}/>
  </div>
)

const BasicExample = () => (
  <Router>
    <div>
      <ul>
        <li><Link to="/">Home</Link></li>
        <li><Link to="/about">About</Link></li>
        <li><Link to="/topics">Topics</Link></li>
      </ul>

      <hr/>

      <Route exact path="/" component={Home}/>
      <Route path="/about" component={About}/>
      <Route path="/topics" component={Topics}/>
    </div>
  </Router>
)
export default BasicExample

if (document.getElementById('example')) {
    ReactDOM.render(<BasicExample />, document.getElementById('example'));
}