はじめに

NHKの笑わない数学「素数」の再放送を観ました。

オイラーがバーゼル問題に取り組んでいた過程で、偶然に見つけた数式があります。
これにより、円周率と素数が関連していること大発見を成し遂げます。

番組で提示されていた数式は下記になります。そのままではなく記事の関係上、省略して記述しています。
$\dfrac{2^2}{2^2-1} \times \dfrac{3^2}{3^2-1} \times \dfrac{5^2}{5^2-1} \times \dfrac{7^2}{7^2-1} \times \dfrac{11^2}{11^2-1} \times \dfrac{13^2}{13^2-1} \times \dots \dfrac{53^2}{53^2-1} \times \dfrac{59^2}{59^2-1} \times \dots = \dfrac{\pi^2}{6}$

この数式って、分母で $-1$ しているんですよね。
私も数学は苦手で、以前に下記のような記事も書いたこともあって気になって調べました。

なぜ、-1 している

今回は下記サイトを参考にしました。

バーゼル問題」とは

「バーゼル問題」とは、「平方数の逆数をすべて足し合わせると和はいくらになるか？」という問題です。

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}=\dfrac {1}{1^2}+\dfrac {1}{2^2} + \dfrac {1}{3^2} + \dfrac {1}{4^2} + \dfrac {1}{5^2} + \dfrac {1}{6^2} + \dfrac {1}{7^2} + \dfrac {1}{8^2}+\cdots$

この問題は17世紀後半から18世紀前半の西洋数学界における大きな関心事でした。多くの数学者の挑戦を撥ね退けてきた難問として当時から広く知られていましたが、遂に1735年、数学者レオンハルト・オイラーによって解決されます。その極限値は $\dfrac {\pi^2}{6}$ と求められ、円周率が出現するという誰も予想しないような興味深い値でした。

素因数分解

分母の数を分解できるものは分解する式に変更します。

$\zeta (2) = \dfrac {1}{1^2}+\dfrac {1}{2^2} + \dfrac {1}{3^2} + \dfrac {1}{(2^2)^2} + \dfrac {1}{5^2} + \dfrac {1}{(2 \cdot 3)^2} + \dfrac {1}{7^2} + \dfrac {1}{(2^3)^2}+\cdots$

分母が4、6、8だった項が素因数分解されています。

掛け算に変形

ここが少し難しいのですが、上の式は以下のように書き直すことができます。

\begin{align} 
\zeta (2) & = \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{(2^2)^2} + \frac{1}{(2^3)^2} + \cdots \right) \\ 
& \times \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{(3^2)^2} + \frac{1}{(3^3)^2} + \cdots \right) \\ 
& \times \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{(5^2)^2} + \frac{1}{(5^3)^2} + \cdots \right) \\ 
& \times \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{(7^2)^2} + \frac{1}{(7^3)^2} + \cdots \right) \\ 
& \times \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{11^2} + \frac{1}{(11^2)^2} + \frac{1}{(11^3)^2} + \cdots \right) \\ 
& \times \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{13^2} + \frac{1}{(13^2)^2} + \frac{1}{(13^3)^2} + \cdots \right) \\ 
& \cdots \\ 
& \cdots \\ 
& \cdots 
\end{align}

これで分母に素数だけが使われた式になりました。
上の変形した式を、$\prod $を使って書き直します。ちなみに$\prod$は、$\sum$の掛け算バージョンです。

$\displaystyle \zeta (2) = \prod_{p;prime} \left( 1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{(p^2)^2}+\frac{1}{(p^3)^2}+\cdots \right)$

式の右辺の部分をもう少し式を変形していきます。

$\displaystyle =1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{(p^2)^2}+\frac{1}{(p^3)^2}+\cdots$

分母を$P^2$に統一して外側に指数を出します。
$\displaystyle =1+\left(\frac{1}{p^2}\right)+\left(\frac{1}{p^2}\right)^2+\left(\frac{1}{p^2}\right)^3+\cdots$

ここで、$\displaystyle r=\frac{1}{p^2}$と置くと、$1+r+r^2+r^3+\cdots$となります。

高校数学で習う「べき乗の和の公式」というのがあります。

べき乗の和の公式
$1+r+r^2+r^3+\cdots = \dfrac{1}{1−r},(0<r<1)$

これを使って、式を書き直します。
$\displaystyle \zeta(2)=\prod_{p;prime} \frac{1}{1-r}$

$r$ と置いたものを元に戻します。

$\displaystyle \zeta(2)=\prod_{p;prime} \frac{1}{1-\frac{1}{p^2}}$

最終式

\begin{align} 
\frac{\pi^2}{6} & = \prod_{p;prime} \frac{1}{1-\frac{1}{p^2}} \\ 
& = \left(\frac{1}{1-\frac{1}{2^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{3^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{5^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{7^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{11^2}}\right) \cdots\\ 
& = \left(\frac{1}{\frac{2^2-1}{2^2}}\right) \left(\frac{1}{\frac{3^2-1}{3^2}}\right) \left(\frac{1}{\frac{5^2-1}{5^2}}\right) \left(\frac{1}{\frac{7^2-1}{7^2}}\right) \left(\frac{1}{\frac{11^2-1}{11^2}}\right) \cdots\\ 
& = \left(\frac{2^2}{2^2-1}\right) \left(\frac{3^2}{3^2-1}\right) \left(\frac{5^2}{5^2-1}\right) \left(\frac{7^2}{7^2-1}\right) \left(\frac{11^2}{11^2-1}\right) \cdots\\ 
\end{align}

ようやく、分母で $-1$ している結果の式となりました。

最後に

分母を揃えるという基本的な部分や分母に分数があった場合にどうするのかを忘れていました。
たまに数学をやって思い出すのがもいいですね。