OBSではブラウザソースを使用することでYoutubeのコメントを取り込むことができます。
しかし、メンバー限定配信については通常の方法では取り込むことができません。
この記事では取り込む方法について解説します。
(あまりお勧めはできません。)

以下の内容は何が起こっても自己責任で実行してください。
OBSやChromeのバージョンによってはうまく動かない可能性があります。

検証バージョン
Chrome 86.0.4240.193
OBS 26.02

概要

メンバー限定配信のコメントを取り込めない理由は単純で、OBSのブラウザではYoutubeにログインしていないからです。
コメントを取り込むためにはOBSのブラウザでYoutubeにログインする必要があります。
OBSのブラウザには対話機能があり、ある程度の操作が可能です。
この機能を使用してYoutubeへログインできれば何も問題はありませんが失敗することがあります。
(ここでログイン可能な方はこれ以降の操作は必要ありません。)

これはOBSが内蔵しているブラウザのバージョンが最新のChromeよりも古いため起こります。
今回はログイン情報が記載されたファイルを直接書き換えることで無理やりログイン状態に変更します。

必要なもの

メンバー限定配信を見れるアカウント
最新バージョンのChrome
最新バージョンのOBS
Python3系
yaegaki/OBSCookieImporter

手順

1. OBSでYoutubeをブラウザソースとして追加する

トップページでいいのでソースを追加します。

2. ChromeのデフォルトユーザーでYoutubeにログインする

メンバー限定配信を見れるアカウントでログインします。

3. OBSCookieImporterを実行する

実行にはOBSCookieImporterはcryptographyというライブラリに依存しています。
実行前に以下のコマンドでインストールします。

$ pip install cryptography

cryptographyのインストール後にOBSCookieImporterに含まれるpythonスクリプトを実行します。
この時、ChromeとOBSは必ず終了しておいてください。

$ python main.py

実行すると以下のようなログが出力されます。
最後にcomplete!と出ていれば成功です。

replace host:.youtube.com name:APISID
replace host:.youtube.com name:CONSENT
replace host:.youtube.com name:HSID
replace host:.youtube.com name:LOGIN_INFO
replace host:.youtube.com name:NID
replace host:.youtube.com name:PREF
replace host:.youtube.com name:SAPISID
replace host:.youtube.com name:SID
replace host:.youtube.com name:SIDCC
replace host:.youtube.com name:SSID
replace host:.youtube.com name:VISITOR_INFO1_LIVE
replace host:.youtube.com name:YSC
replace host:.youtube.com name:__Secure-3PAPISID
replace host:.youtube.com name:__Secure-3PSID
replace host:.youtube.com name:__Secure-3PSIDCC
replace host:.youtube.com name:_ga
replace host:.youtube.com name:_gcl_au
replace host:.youtube.com name:s_gl
replace host:.youtube.com name:wide
complete!

4. OBSを開いてログインできているか確認する

最初に追加したYoutubeのページでログイン状態になっていれば成功です。
後はメンバー限定配信のソースを追加すれば完了です。

技術的な話

技術的にはChromeのクッキーをOBSのブラウザのクッキーに上書きしています。
少し面倒なのはChromeのv80以降でクッキーの保存方法に変更が入っていることです。

参考:AESで暗号化されたWindows ChromeのCookieを復号する【python】

OBSのブラウザのクッキーはv80より前の形式で保存されているためそのままファイルをコピーするだけではうまく動きません。
yaegaki/OBSCookieImporterではChromeのクッキーを読み込んで復号した後、改めてOBSのクッキーに暗号化して書き込むということを行っています。

最後に

結構面倒なので現状は諦めたほうがいいと思います。
また、この方法で実際にできるかどうか確かめたわけではありません。
もしやってみてできたという方がいればコメントください。