Dockerでホストと同じタイムゾーンをコンテナ起動時に設定する - Qiita

のECS版です。

{
  "family": "test-volumes-from",
  "volumes": [
    {
      "name": "localtime",
      "host": {
        "sourcePath": "/etc/localtime"
      }
    }
  ],
  ...
  "containerDefinitions": [
    {
      ...
      "mountPoints": [
        {
          "sourceVolume": "localtime",
          "containerPath": "/etc/localtime",
          "readOnly": true
        }
      ],
      ...

Task Definitionの volumes でCluster Instance側のパスを指定し、 containerDefinitions 内の各コンテナーの設定の mountPoints でコンテナー側の /etc/localtime に読み取り専用でマウントします。以上。

おまけ

素のAmazon LinuxをUTC+9にしてecs-agentを入れるUserData

#!/bin/bash

unalias cp

cp -f -p /usr/share/zoneinfo/Japan /etc/localtime

cat << _EOT_ > /etc/sysconfig/clock
ZONE="Asia/Tokyo"
UTC=false
_EOT_

yum install -y ecs-init
echo ECS_CLUSTER=test >> /etc/ecs/ecs.config
sudo service docker start
sudo start ecs

base64 encoded

IyEvYmluL2Jhc2gKdW5hbGlhcyBjcApjcCAtZiAtcCAvdXNyL3NoYXJlL3pvbmVpbmZvL0phcGFuIC9ldGMvbG9jYWx0aW1lCmNhdCA8PCBfRU9UXyA+IC9ldGMvc3lzY29uZmlnL2Nsb2NrClpPTkU9IkFzaWEvVG9reW8iClVUQz1mYWxzZQpfRU9UXwp5dW0gaW5zdGFsbCAteSBlY3MtaW5pdAplY2hvIEVDU19DTFVTVEVSPWJhY2tsb2dfYWRtaW4gPj4gL2V0Yy9lY3MvZWNzLmNvbmZpZwpzdWRvIHNlcnZpY2UgZG9ja2VyIHN0YXJ0CnN1ZG8gc3RhcnQgZWNzCg==

おまけ

参考