$ M_{n} = max\{ X_{1}, X_{2}, X_{3},\cdots, M_{n} \} $ の分布を $G(x)$ と置く。

問題文より

$$G(x) = {(1-e^{-x})}^{n}$$

ここで、$ x = y + \log n $ とする。

$$G(x) = {(1-e^{-(y+\log n)})}^{n}$$

$y$を固定したまま、$n \to \infty$ としていくと

$$G(x)= \lim_{n \to \infty}{(1-e^{-(y+\log n)})}^{n}$$

$$= \lim_{n \to \infty}{(1-e^{-y} \cdot e^{-\log n})}^{n}$$

$$= \lim_{n \to \infty}{(1-\frac{e^{-y}}{e^{\log n}})}^{n}$$

ネイピア数と自然対数の公式より

$$e^{\log n} = n$$

よって

$$= \lim_{n \to \infty}{(1-\frac{e^{-y}}{n})}^{n}$$

$$= \lim_{n \to \infty}\{{(1-\frac{e^{-y}}{n})}^{- \frac{n}{e^{-y}}}\}^{-e^{-y}}$$

ここで、極限の公式より

$$\lim_{n \to \infty}{(1+\frac{1}{n})}^{n} = e$$

一般化した式は

$$\lim_{n \to \infty}{(1\pm\frac{a}{n})}^{\pm\frac{n}{a}} = e$$

$a$ に $e^{-y}$ を代入すると

$$\lim_{n \to \infty}\{{(1-\frac{e^{-y}}{n})}^{- \frac{n}{e^{-y}}}\}^{-e^{-y}}$$

$$= e^{-e^{-y}}$$

よって

$$G(x) = e^{-e^{-y}}$$

$x = y + \log n$ より

$$y = x - \log n$$

$x$ の最大値 $M_{n}$ を代入して

$$y = M_{n} -\log n$$

これは、ガンベル分布に収束する。