$ M_{n} = max\{ X_{1}, X_{2}, X_{3},\cdots, M_{n} \} $ の分布を $G(x)$ と置く。
問題文より
$$G(x) = {(1-e^{-x})}^{n}$$
ここで、$ x = y + \log n $ とする。
$$G(x) = {(1-e^{-(y+\log n)})}^{n}$$
$y$を固定したまま、$n \to \infty$ としていくと
$$G(x)= \lim_{n \to \infty}{(1-e^{-(y+\log n)})}^{n}$$
$$= \lim_{n \to \infty}{(1-e^{-y} \cdot e^{-\log n})}^{n}$$
$$= \lim_{n \to \infty}{(1-\frac{e^{-y}}{e^{\log n}})}^{n}$$
ネイピア数と自然対数の公式より
$$e^{\log n} = n$$
よって
$$= \lim_{n \to \infty}{(1-\frac{e^{-y}}{n})}^{n}$$
$$= \lim_{n \to \infty}\{{(1-\frac{e^{-y}}{n})}^{- \frac{n}{e^{-y}}}\}^{-e^{-y}}$$
ここで、極限の公式より
$$\lim_{n \to \infty}{(1+\frac{1}{n})}^{n} = e$$
一般化した式は
$$\lim_{n \to \infty}{(1\pm\frac{a}{n})}^{\pm\frac{n}{a}} = e$$
$a$ に $e^{-y}$ を代入すると
$$\lim_{n \to \infty}\{{(1-\frac{e^{-y}}{n})}^{- \frac{n}{e^{-y}}}\}^{-e^{-y}}$$
$$= e^{-e^{-y}}$$
よって
$$G(x) = e^{-e^{-y}}$$
$x = y + \log n$ より
$$y = x - \log n$$
$x$ の最大値 $M_{n}$ を代入して
$$y = M_{n} -\log n$$
これは、ガンベル分布に収束する。