Pattern 1

const admin = require('firebase-admin');
const app = admin.initializeApp()

GCPで動かしている場合のみ動くとのこと。

アプリケーションが Google Cloud 環境内で実行されていて、その環境にサービスアカウントが接続されている場合、アプリケーションはそのサービスアカウントの認証情報を取得できます。
https://cloud.google.com/docs/authentication/production?hl=ja

他にもemulatorで動かしたい時はこれで良い。

if (process.env.NODE_ENV === 'production') {
  // 本番用初期化
} else {
  // emulator
  admin.initializeApp()
}

Pattern 2

// Initialize the default app
const admin = require('firebase-admin');
const app = admin.initializeApp({
  credential: admin.credential.applicationDefault()
});

credential json(firebaseからダウンロードできる)へのpathを環境変数に入れると自動で読み込む設定。変数名は決められており、GOOGLE_APPLICATION_CREDENTIALSにする必要がある。

つまりexport GOOGLE_APPLICATION_CREDENTIALS=<json path>すれば良い。
ただ、 json file には認証情報が載っており git で管理してはいけない。
vercelなどにあげる時は Pattern 3 を使う。

Pattern 3

// Initialize the default app
const admin = require('firebase-admin');
const app = admin.initializeApp({
  credential: admin.credential.cert({
      projectId: process.env.FIREBASE_PROJECT_ID,
      clientEmail: process.env.FIREBASE_CLIENT_EMAIL,
      privateKey: process.env.FIREBASE_PRIVATE_KEY?.replace(/\\n/g, '\n'),
   })
});

service account の json から抜き出して環境変数に突っ込む

参考