WordPress 管理画面のURL ( /wp-admin/* ) に IP 制限をかけている場合に、サイトヘルス機能で「サイトでループバックリクエストが完了できませんでした」というエラーが発生します。
wp-admin/site-health.php のみ IP 制限を解除するようにすれば解決します。
SiteGuard WP Plugin を利用している場合は、「管理ページアクセス制限」の設定画面を開
き、「除外パス」の欄に site-health.php を追加すればOK。
参考: サイトヘルスでエラー | WordPress.org