最初に結論

（バックエンド）BytesIOを使ってmatplotlibの画像のByteデータを取得する
（バックエンド）media_type="/image/png"で送信
（クライアント）axiosなどで、画像データを含むResponseを取得し、タグのsrcに、受け取った画像のByteデータオブジェクトを指定する

以下、サンプルコードを示します。

バックエンド（FastAPI）

import io
from fastapi import FastAPI, Response
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

app = FastAPI()

@app.get('/my/backend-api/endpoint')
def plot_png():
    # データの生成
    x = np.arange(0, 10, 0.1)
    y = np.sin(x)
    # グラフの描画
    fig, ax = plt.subplots()
    ax.plot(x, y)
    ax.set_xlabel('x')
    ax.set_ylabel('y')
    # グラフを画像ファイルに保存
    png_output = io.BytesIO()
    fig.savefig(png_output, format='png')
    # 画像ファイルをクライアントに送信
    png_output.seek(0)
    return Response(content=png_output, media_type="/image/png")

hypercorn main:app --reloadでFastAPIサーバを起動します。

クライアント（React）

コンポーネントだけ記述します。useState, useEffectを用いて初回レンダリング時に画像を取得してimageDataという変数に画像データを格納するコードになっています。

import React, { useState, useEffect} from 'react';
import axios from 'axios';

const ImageComponent = () => {
  const [imageData, setImageData] = useState(null);

  useEffect(() => {
    const fetchData = async () => {
      const result = await axios.get('/your/backend-api/endpoint');
      setImageData(result.data);
    };

    fetchData();
  }, []);

  return (
    <div>
      {imageData && (
        <img src={imageData} alt="wordcloud"/>
      )}
    </div>
  );
}

export default ImageComponent;

以上、matplotlibの画像をAPIで送信してレンダリングするまでの流れを簡単なサンプルコードと共に紹介しました。

ちなみに、以上で紹介した内容はAPIのレスポンスが画像のみの場合ですが、他にテキスト情報と共に返送したい場合は、Base64エンコーディングで画像データをシリアル化（＝データ形式を変換すること）して、JSONオブジェクトのフィールドの項目の一つとして送信することが一般的なようです。