お久しぶりです．私の職場でお仕事をしているとお客さんから色々な意見やクレームが入ることがあります．その中の一つに，制御工学の演習問題の回答の途中計算式を示してほしいとの切実な願いがありました．途中計算式なんてなくても自分たちで導き出してほしいと思うものの仮にQiitaのようなWEB記事に投稿したときに，職場以外の方にも見てもらえるのかと思い一度投稿してみようと思います．ひとまず試験的に投稿してみますので，もし需要がございましたら，いいねやストックをしてください．そこそこの数になったら続編もしくはシリーズ化することを検討したいと思います．
以下の式をラプラス変換しましょう．
（１）
f(t) =2t
\begin{eqnarray}
F(s) &=& \mathcal{L}[f(t)] \\
&=& \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}dt \\
&=& \int_{0}^{\infty} 2t e^{-st}dt \\
&=& \left[ -\frac{1}{s}2t e^{-st} \right]_{0}^{\infty}
- \int_{0}^{\infty} \left(-\frac{1}{s}\cdot 2 e^{-st} \right) dt \\
&=& \int_{0}^{\infty} \frac{2}{s} e^{-st}dt \\
&=& \left[ -\frac{2}{s^2} e^{-st} \right]_{0}^{\infty} \\
&=& -\frac{2}{s^2}(e^{-s\infty} - e^{0}) \\
&=& \frac{2}{s^2}
\end{eqnarray}
（２）
f(t)=8
\begin{eqnarray}
\quad F(s) &=& \mathcal{L}[f(t)] \\
&=& \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}dt \\
&=& \int_{0}^{\infty} 8 e^{-st}dt \\
&=& \left[ -\frac{8}{s} e^{-st} \right]_{0}^{\infty} \\
&=& -\frac{8}{s}(e^{-s\infty} - e^{0}) \\
&=& \frac{8}{s}
\end{eqnarray}
ブロック線図の入出力関係を求めましょう．
\begin{eqnarray}
Y(s) &=& S(s)U(s) \\
U(s) &=& F(s)E(s) \\
E(s) &=& R(s) - Y(s) \\
Y(s) &=& S(s)F(s)E(s) \\
&=& S(s)F(s)\bigl(R(s) - Y(s)\bigr) \\
&=& S(s)F(s)R(s) - S(s)F(s)Y(s)\\
(1 + S(s)F(s))Y(s) &=& S(s)F(s)R(s) \\
\frac{Y(s)}{R(s)} &=& \frac{S(s)F(s)}{1 + S(s)F(s)}
\end{eqnarray}
制御対象 $S(s) = \dfrac{1}{s+3}$ と制御器 $F(s) = 1$ について図1の制御系を構築し，
参照信号をステップ信号で与えたときの，制御出力 $y(t)$ を計算し，$y(t)$ の波形を図2に記入してください．
\begin{eqnarray}
\frac{Y(s)}{R(s)} &=& \frac{F(s)S(s)}{1 + F(s)S(s)} \\
R(s) = \frac{1}{s}, \quad F(s) &=& 1, \quad S(s) = \frac{1}{s+3}\text{を代入すると，}\\
Y(s) &=& \frac{\frac{1}{s+3}}{1 + \frac{1}{s+3}} \cdot \frac{1}{s}\\
Y(s) &=& \frac{1}{s+3+1} \cdot \frac{1}{s} \\
&=& \frac{1}{s(s+4)}\\
\text{部分分数分解すると，}\\
Y(s) &=& \frac{1}{4}\left( \frac{1}{s} - \frac{1}{s+4} \right)\\
\text{両辺を逆ラプラス変換すると}\\
y(t) &=& \frac{1}{4}\left(1 - e^{-4t}\right)\\
\text{定常値} \frac{1}{4}
\end{eqnarray}
以下の制御対象の安定性を判別しましょう．またその理由も合わせて回答しましょう．
（１）
\begin{eqnarray}
G_{1}(s)&=&\frac{8}{s-2}\\
\text{分母} &=& s - 2 = 0 \\
s &=& 2 \text{ なので極の実部が正であるので不安定}
\end{eqnarray}
（２）
\begin{eqnarray}
G_{2}(s)&=&\frac{2}{s^2 -4s +5}\\
\text{分母} &=& s^2 - 4s + 5 = 0 \\
s &=& \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2} \\
&=& \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} \\
&=& \frac{4 \pm 2i}{2} \\
&=& 2 \pm i\\
&&\text{極の実部がすべて正であるから不安定}
\end{eqnarray}
簡単に計算できると思います．