摂動展開

1 $x=1+\varepsilon x^{5}$

1 $\varepsilon\ll1$であるならば、$x\thickapprox1$である。

2 摂動項は第一項より十分小さいので、第一項を$x$として摂動項の$x$に代入できる。よって$x = 1+\varepsilon$

3 更に精度の高い近似解を得るためには、1次近似解をもとの式の摂動項$\varepsilon x^{5}$
に代入すればよい。

x   =   1+\varepsilon x^{5}\\
f\left(x\right) =   1+\varepsilon x^{5}\\
    =   1+5\varepsilon^{4}x+10\varepsilon\\
f'\left(x\right)    =   5\varepsilon x^{4}\\
f''\left(x\right)   =   20\varepsilon x^{3}\\
    \thickapprox    1+\varepsilon\left(1+\varepsilon\right)^{5}

4 このプロセスを体系的に行うために、代数方程式の解を微小パラメータのべき級数

x   =   1+\varepsilon x_{1}+\varepsilon^{2}x_{2}+\varepsilon^{3}x_{3}+\cdots

に展開し、その展開係数$x_{1},x_{2},x_{3}\cdots$
を求めることにする。上式を下の代数方程式に代入すると$1+\varepsilon x_{1}+\varepsilon^{2}x_{2}+\varepsilon^{3}x_{3}+\cdots = 1+\varepsilon\left(1+\varepsilon x_{1}+\varepsilon^{2}x_{2}+\varepsilon^{3}x_{3}+\cdots\right)^{5}$
を得る。式を微小パラメータ$\varepsilon$のベキの等しい項毎に整理すると$1+\varepsilon x_{1}+\varepsilon^{2}x_{2}+\varepsilon^{3}x_{3}+\cdots = 1+\varepsilon+5\varepsilon^{2}x_{1}+\varepsilon^{3}\left(10x_{1}^{2}+5x_{2}\right)+\cdots$
すなわち、

\varepsilon\left(x_{1}-1\right)+\varepsilon^{2}\left(x_{2}-5\varepsilon^{2}x_{1}\right)+\varepsilon^{3}\left(x_{3}-10x_{1}^{2}+5x_{2}\right)    +\cdots=    0

となる。パラメータ$\varepsilon$の恒等式であるから、$\varepsilon$の全ての次数のベキの係数が$\varepsilon$でなければならない。したがって、

x_{1}-1 =   0\\
x_{2}-5x_{1}    =   0\\
x_{3}-10x_{1}^{2}-5x_{2}    =   0\\

と漸化式を得る。これから

x_{1}   =   1\\
x_{2}   =   5x_{1}=5\\
x_{3}   =   10x_{1}^{2}-5x_{2}=35

よって$x = 1+\varepsilon+5\varepsilon^{2}+35\varepsilon^{3}+\cdots$