方針は5章後半~7章の内容を含みます．
方針
t分布について．
Z\sim \mathcal{N}(0,1),\ \ Y\sim\chi_m^2
の時，
\frac{Z}{\sqrt{Y/m}}\sim t_m
これが分かっていると，t検定で使う
\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{V}\sim t_{n-1}
が分かる．ただし，
X_1,…,X_n:iid\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)
として
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i,\ \ \ V^2=\frac{1}{n-1}(X_i-\bar{X})^2
と置いた．中心極限定理 (CLT) により，
Z=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma}\rightarrow_d\mathcal{N}(0,1)
一方，
Y=\sum_{i=1}^m\left(\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma}\right)^2=\frac{(n-1)V^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n-1}^2
ゆえ，
\frac{Z}{\sqrt{Y/(n-1)}}\sim t_{n-1}
である．今，
\frac{Z}{\sqrt{Y/(n-1)}}=\frac{\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma}}{\sqrt{\frac{V^2}{\sigma^2}}}=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{V}
より，
\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{V}\sim t_{n-1}
が得られた．
答案
参考文献
- 『現代数理統計学の基礎』(久保川達也 著)