方針は5章後半~7章の内容を含みます．

方針

t分布について．

Z\sim \mathcal{N}(0,1),\ \ Y\sim\chi_m^2

の時，

\frac{Z}{\sqrt{Y/m}}\sim t_m

これが分かっていると，t検定で使う

\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{V}\sim t_{n-1}

が分かる．ただし，

X_1,…,X_n:iid\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)

として

\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i,\ \ \ V^2=\frac{1}{n-1}(X_i-\bar{X})^2

と置いた．中心極限定理 (CLT) により，

Z=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma}\rightarrow_d\mathcal{N}(0,1)

一方，

Y=\sum_{i=1}^m\left(\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma}\right)^2=\frac{(n-1)V^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n-1}^2

ゆえ，

\frac{Z}{\sqrt{Y/(n-1)}}\sim t_{n-1}

である．今，

\frac{Z}{\sqrt{Y/(n-1)}}=\frac{\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma}}{\sqrt{\frac{V^2}{\sigma^2}}}=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{V}

より，

\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{V}\sim t_{n-1}

が得られた．

答案