方針
ポアソン分布について書く．ポアソン分布は単位時間内に平均lambda回起きる事象が起こる回数を示す確率分布である．確率密度関数は，
f_X(x)=\frac{\lambda^x}{x!}\exp(-\lambda),\ \ \ x=0,...
積率母関数は，
\begin{align}
M_X(t)&= \mathbb{E}_{X\sim Po(\lambda)}[e^{tX}]\\
&= \sum_{x=0}^\infty\frac{\lambda^x}{x!}\exp(tx-\lambda)\\
&= \exp(-\lambda)\sum_{x=0}^\infty \frac{(e^t\lambda)^x}{x!}\\
&= \exp(-\lambda)\exp(e^t\lambda)\\
&= \exp\{\lambda(e^t-1)\}
\end{align}
二項分布の積率母関数(3.8で解説)において，
\lambda=np
と置くと，n→∞において
\begin{align}
\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{\lambda}{n}e^t+1-\frac{\lambda}{n})^n&= \lim_{n\rightarrow\infty}\{1+\frac{\lambda(e^t-1)}{n}\}^n\\
&= \exp\{\lambda(e^t-1)\}
\end{align}
であるから，ポアソン分布は二項分布でn→∞とした形であることがわかる．
期待値は，
\begin{align}
\mathbb{E}_{X\sim Po(\lambda)}[X]&= \sum_{x=0}^\infty x\frac{\lambda^x}{x!}\exp(-\lambda)\\
&= \lambda\sum_{x=1}^\infty\frac{\lambda^{x-1}}{(x-1)!}\exp(-\lambda)\\
&= \lambda\sum_{x'=0}^\infty\frac{\lambda^{x'}}{x'!}\exp(-\lambda)\ \ \ \ x'=x-1\\
&= \lambda
\end{align}
分散は，
\begin{align}
\mathbb{E}_{X\sim Po(\lambda)}[X^2]&= \sum_{x=0}^\infty x^2\frac{\lambda^x}{x!}\exp(-\lambda)\\
&= \lambda\sum_{x=1}^\infty x\frac{\lambda^{x-1}}{(x-1)!}\exp(–\lambda)\\
&= \lambda\sum_{x'=0}^\infty(x'+1)\frac{\lambda^{x'}}{x'!}\exp(-\lambda)\\
&= \lambda(\lambda+1)\\
Var(X)&= \lambda(\lambda+1)-\lambda^2=\lambda
\end{align}
答案
確率変数Yの積率母関数は，
\begin{align}
M_Y(t)&= \mathbb{E}_{X\sim Po(\lambda)}[e^{tY}]\\
&= \mathbb{E}_{X\sim Po(\lambda)}[e^{\frac{t(X-\lambda)}{\sqrt{\lambda}}}]\\
&= \exp(-t\sqrt{\lambda})\mathbb{E}_{X\sim Po(\lambda)}[e^{\frac{t}{\sqrt{\lambda}}X}]\\
&= \exp(-t\sqrt{\lambda})\sum_{x=0}^\infty\frac{\lambda^x}{x!}\exp(\frac{t}{\sqrt{\lambda}}x-\lambda)\\
&= \exp(-t\sqrt{\lambda}-\lambda)\sum_{x=0}^\infty\frac{(e^{\frac{t}{\sqrt{\lambda}}})^x}{x!}\\
&= \exp(-t\sqrt{\lambda}-\lambda+\lambda e^{\frac{t}{\sqrt{\lambda}}})
\end{align}
今，
\psi(t)=\log M_Y(t)
とおけば，n→∞で，
\psi(t)\rightarrow\frac{t^2}{2}
であることを示せば良い．
\psi(t))=-t\sqrt{\lambda}-\lambda+\lambda e^{\frac{t}{\sqrt{\lambda}}}
指数部分について，漸近展開して，
e^{\frac{t}{\sqrt{\lambda}}}=1+\frac{t}{\sqrt{\lambda}}+\frac{t^2}{2\lambda}+\mathcal{o}(\frac{1}{\lambda})\ \ \ as\ \ \lambda\rightarrow\infty
なので，
\begin{align}
\psi(t)&= -t\sqrt{\lambda}-\lambda+\lambda(1+\frac{t}{\sqrt{\lambda}}+\frac{t^2}{2\lambda}+\mathcal{o}(\frac{1}{\lambda}))\\
&= -t\sqrt{\lambda}-\lambda+\lambda+t\sqrt{\lambda}+\frac{t^2}{2}+\mathcal{o}(1)\\
&\approx \frac{t^2}{2}\ \ \ as\ \lambda\rightarrow\infty
\end{align}
参考文献
- 『現代数理統計学の基礎』(久保川達也 著)