こんにちは！
今日は「モンテカルロ法（Monte Carlo method）」という、AI・統計・物理・金融などで大活躍するテクニックを、中学生にもわかるようにやさしく説明します。

以下のYouTube動画でも解説していますので、併せてチェックしてみてください！

ひとことで言うと？

モンテカルロ法とは、「ランダムにたくさん試して、知りたい値を“だいたい”推測する方法」

たとえば、“計算がむずかしすぎて正確な式で出すのが大変”なときでも、サイコロや乱数を使って何度もシミュレーションすれば、答えの近くにどんどん近づくことができます。

名前の由来

「モンテカルロ」はモナコのカジノで有名な地名。
ランダム（確率） を使うアイデアが、賭け（ランダム性） を連想させることからこの名前が付きました。

モンテカルロ法の考え方

モンテカルロ法の基本はとてもシンプルです。

ランダムに数を作る
その数でシミュレーションをする
たくさん繰り返して平均をとる

これだけで「だいたいの答え」がわかるのです。

繰り返す回数が増えるほど、答えは本物に近づきます。

サイコロでわかる直感

例えば、「サイコロを 2 回振って合計が 7 になる確率」は計算をすると1/6になります。
しかし、それが計算できなかったとしても、何万回もランダムに振って数えてみれば、だいたい 1/6 に近づくはず。
正確な式を知らなくても、ランダムに試行 → 割合をとるだけで近似できます。
まさに、このアプローチがモンテカルロ法なのです。

円周率を求める

また、モンテカルロ法は有名な「円周率 π を求める実験」にも使われます。

1辺が1の正方形を用意する
その中に円の4分の1を描く
正方形の中にランダムに点を打つ
円の中に入った点の割合を調べる

点を無限に打つと、その割合は π / 4 に近づいていきます。
つまり、モンテカルロ法を使って「円周率π」を推定できるのです！

ちなみにこのモンテカルロ法を使って円周率を求めるアプローチは、Pythonで以下のように簡単に実装することができます。

import random
N = 100_000
hit = 0
for _ in range(N):
    x = random.random()  # 0～1
    y = random.random()
    if x*x + y*y <= 1.0:
        hit += 1
pi_est = 4 * hit / N
print(pi_est)

どれくらい正確？

さて、それではモンテカルロ法はどれくらい正確なのでしょうか？

もちろん試行回数を増やせば増やすほど正確になりますが、具体的にはモンテカルロ法の誤差は、だいたい「1/√N」 のオーダーで減ります（N は試行回数）。

例えば、N=1,000 での誤差より、N=10,000 のほうが約 1/√10 ≈ 1/3.16 に誤差が小さくなります。

10倍正確にしたかったら 100倍試す必要があるんです。

どんなときに使うの？

面積や確率を求めたい（でも式で計算するのが難しい）
将来のリスクを知りたい（株価の変動、在庫切れの確率など）
複雑な仕組みを試行で理解したい（待ち行列、交通、ゲームAI など）
高次元の積分（次元が高いほど普通の計算が爆発的に難しくなる）